第8章 多元函数微分学

第八章 多元函数微分法

一、基本内容

（一）元函数的基本概念 1．基本概念

（1）邻域 （2）内点 （3）边界点 （4）开集 （5）区域 2．二元函数的极限与连续 （二）偏导数和全微分

1． 偏导数

fx(x0,y0)?lim?xz?x?lim?x?0f(x0??x,y0)?f(x0,y0)?x

?x?0

fy(x0,y0)?lim?yz?y?lim?y?0f(x0,y0??y)?f(x0,y0)?y

?y?02． 全微分 3． 全微分在近似计算中的应用 （三）复合函数的微分法

1． 复合函数求导法则 2． 一阶微分形式不变性

（四）隐函数的微分法

1． 一个方程的情形 2，方程组情形

（五）微分法在几何上的应用

1．空间曲线的切线与法平面

2．曲面的切平面与法线 3．微分的几何意义 （六）方向导数和梯度 1．方向导数 2．梯度

（七）多元函数的极值

1．多元函数的极值 2．条件极值

练习题

8.1. 确定下列函数的定义域

22 (1)z?ln(?x?y) (2)u?arcsinx?yz

22(3)f(r,?)?rsin? (4)f(x,y,z)?ln(z?x?y)

解答：(1)?x?y?0得x??yzx2y?0 时有定义.即z?0（2）?1?x22?1，z?0时?z?x2?y2?z z?0 时z??y2??z 包含锥面在内的圆锥 ，即上半平面 2（3）sin??0得0????（4）z?x?y22?0得z?x?y2旋转抛物面的内部（不含表面） Z x 8.2.设函数f(x,y)?x20o x?yxy2,求 f(1x,1y) 解答：f(1x,1y)?1212()?()xy11?xy?y2?xxy2 8.3.设33?x?y,(x,y)?(0,0)?xy?22f(x,y)??x?y?,(x,y)?(0,0)?0 求fx(0,0)，fy(0,0) ??x3解答：fx(0,0)?limf(0,?x)?f(0,0)?x?lim?x?0?x2?x?0?x??y3??1 fy(0,0)?limf(0,?y)?f(0,0)?y2?lim?y?0?y2?y?0?y2??1

8.4.设

f(x,y)?(x?y)ln(x?y)?arctan(2yxex?y2),求

fx?(1,0)解答：

f(x,0)?xlnx2

fx?(x,0)?2xlnx?xfx?(1,0)?1

8.5.设

?1xy12222sin(x?y),x?y?0?2f(x,y)??x?y2?22,x?y?0?0

试讨论

f(x,y)在点(0,0)的连续性，可微性。

xyx?y22解答：（1）limx?0y?0sin(x?y)?lim?x?0y?022sin(x?y)x?y22222?0

（?limx?0y?0xy?0limx?0y?0sin(x?y)x?y222?1）

（2）f(0,0)?limxf(?x,0)?f(0,0)?x?0?x?0?0

f(0,0)?limyf(?y,0?f(0,0))?y?y?0

?z?dz??x,?y?x??y22sin(?x??y),22???x??y22lim?z?dz??0??lim?x,?y?x2??0??y2?sin(?x?x22??y)22??y不存在

综上（1），（2）f(x,y)在点(0,0)连续，但不可微

8.6.求下列二重极限 (1)

limx?0y?0xy3?xy?91 (2)

lim(x,y?(0,0))(1?x2?y)2x?y22

(3)

limx?0y?0xx22?y?y22 (4)

xy3?xy?gxy(3?xy1limx??y??sin(xy)xy

解答：（1）limx?0y?0?limx?0y?0xy?9)?6

1（2）

?x,y???0,0?lim(1?x2?y)2x?y22令x2?y2?ulim(1?u)u?eu?0

（3）limx?0y?0xx22?y?y22令y?kxlimx?0y?kx?0xx22?kx?kx2222?1?k1?k22

此极限随K改变而改变，因此极限不存在。

（4）limx??y??sin(xy)xy?0(?sin(xy)?1,1xy?0)

8.7求下列函数的一阶偏导数和全微分 （1）z?eu?vsinv，u??xy，v??eu?vx?y

u?v?z解答：?x?e??z?u??u?x?z?v?v?xsinv?y?e(sinv?cosv)

xy?x?y?ysin(x?y)?sin(x?y)?cos(x?y)??z?v?v?y?z?y??z?u?u?y?z?x??exy?x?y?xsin(x?y)?sin(x?y)?cos(x?y)?

dz?dx??z?ydy

（2）u解答：

?f(x,y,z)，z?g(x,y)

?z?x?fy??fz?g?y?z?x?fx??fz?g?x,

dz?u?dx?u?ydy x

8.8求下列方程所确定函数的全微分dz（1）exz（2）

?sinyx?0

yx?0 yx,Fy?1xcosyxf(x?y,y?z,z?x)?0解答：(1)令

f(x,y,z)?e?zexzxz?sinyx2 则F?z?xx?cos ，

1FyFzFz?xexz

??FxFzze?xz?yx2xzcosyxxe，

?z?y???xcosxexzyx

dz?zxdx?zydy

(2) 令f(x,y,z)?f(x?y,y?z,z?x)?0

则Fx?f1??f3?Fy?f1??f2?Fz?f2??f3?

?z??f1??f3??z??f1??f2??xf2??f3??yf

2??f3?dz?z?xdx?z?ydy

8.9函数z?z(x,y)由方程e??z?xy?3所确定，求

?2z?x2。

解答：方程ez?z?xy?3两端同时对x求偏导，得ez?z?x??z?x?y?0

则

?zy?x?1?ez

?2z?y??1?z?zy2ez?x2??(1?ez)2??(e)??

???x(1?ez)3 8.10设x?f(x,y,z),

z??(x,y)求

dydx。

解答：由*y,z)??x?f(x,?y?y(x)?z??(x,y)确定了两个函数??z?z(x)

方程组*对x求导得

??f?fdy??1???x??fdz?ydx??z?dx

?dz??????dy?dx?x??y?dx1??f??f???解得

dyx?z?xdx???f?f?

?y???z?y

8.11设函数z(x,y)由方程F(x?zy,y?zx)?0确定。

证明x?z?x?y?z?y?z?xy。

证明：方程

f(x?z,y?zyx)?0两侧分别同时对

x,y求偏导

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