南方凤凰台版高考数学大一轮复习第八章不等式第课简单的线性规划(4)

(第1题)

2.-1 【解析】根据约束条件

?x?y?1，??y-x?1，?x?1?作出可行域如图中阴影部分所示，由图可知，当直线

?x?y?1，?x?0，??y-x?1，y?1，z=2x-y过点A时，z取得最小值.联立?解得?所以A(0，1)，所以z=2x-y在点A处

取得最小值为-1.

(第2题)

3.2 【解析】作出不等式组

?x?1，??y?a，a?1，?x-y?0?所表示的可行域如图中阴影部分如示. ?y?a，?x?a，??x-y?0，y?a，?联立解得?即点A(a，a).作直线l：z=x+y，则z为直线l在y轴上的截距，当直

线l经过可行域上的点A(a，a)时，直线l在y轴上的截距最大，此时z取最大值，即

zmax=a+a=2a=4，解得a=2. (第3题)

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?55??48?3，?，???4.?9? 【解析】由条件知，可行域是以点A?33?，B(3，6)，C(3，1)为顶点组成的三2x?y???y角形及其内部(如图中阴影部分所示)，而目标函数可化为z=+?x?，其中

2???3y?1?y??1?2(t-1)22，，2????x?min=3?x?max=2，设f(t)=t2+t，f'(t)=2t-t2=t2，其中t∈?3??，故当t=1

?1?55?55?553，????时，f(t)min=3.又f?3?=9，f(2)=5，故f(t)max=9，即所求取值范围为?9?. (第4题)

5.1 【解析】将目标函数变形为y=2x-z，当z取最大值，则直线纵截距最小，故当m≤0时，不

2m??2，??2m-12m-1??.显然O(0，0)不满足题意；当m>0时，画出可行域如图中阴影部分所示，其中B2m??242m，??是最优解，故只能B?2m-12m-1?是最优解，代入目标函数得2m-1-2m-1=2，解得m=1. (第5题)

17

|x?2y-4|6.21 【解析】作出可行域如图中阴影部分所示.由z=|x+2y-4|=5·12?22，知

z=|x+2y-4|表示在可行域内取一点到直线x+2y-4=0的距离的5倍，由图知点C(7，9)到直线x+2y-4=0的距离最大，所以zmax=|7+2×9-4|=21. (第6题)

7.8 【解析】作出不等式组表示的可行域如图中阴影部分所示.直线2x-y=0与直线x-2y+3=0的交点为(1，2)，代入目标函数m=x+y得到最大值为3，由函数y=2为增函数，得2的最大值为2=8. 3

mx+y (第7题)

8.37 【解析】作出不等式组

2

2

?x?y-7??0，??x-y?3?0，?y?0?表示的平面区域Ω如图中阴影部分所示(含边

界)，圆C：(x-a)+(y-b)=1的圆心坐标为(a，b)，半径为1.由圆C与x轴相切，得b=1.解方程组

?x?y-7?0，?x?6，??

y?1，?y?1，得?即直线x+y-7=0与直线y=1的交点坐标为P(6，1).又点C∈Ω，则当点C与P重合时，a取得最大值，所以a+b的最大值为6+1=37. 2

2

2

2

18

(第8题)

9. 直线z=ax+y(a>0)是斜率为-a，在y轴上的截距为z的直线族，从图上可以看出，当-a小于直线AC的斜率时，目标函数z=ax+y(a>0)取得最大值的最优解是(5，2)；当-a大于直线AC的斜率时，目标函数z=ax+y(a>0)取得最大值的最优解是(1，4)；只有当-a等于直线AC的斜率时，目标函数z=ax+y(a>0)取得最大值的最优解才有无穷多个，线段AC上的所有点都是最优解.直线AC1119的斜率为-2，所以a=2时，z的最大值为2×1+4=2.

10.首先画出可行域，如图中阴影部分所示. (第10题)

(1) z1=x+y表示的是可行域内任意一点(x，y)到点(0，0)的距离的平方.由图可知，点A(x，y)到点O(0，0)的距离最小，点A的坐标是(1，0)，所以z1 min=1+0=1. 2

2

2

2

y-1(2) z2=x?1表示的是可行域内任意一点(x，y)与点B(-1，1)连线的斜率.由图可知点A(1，0)0-11与点B(-1，1)连线的斜率最小，z2 min=1?1=-2，z2 max=1(取不到)，所以z2的取值范围是

?1??，1???2?.

11.设甲项目投资x万元，乙项目投资y万元，增长的GDP为z万元，则投资甲、乙两个项目可增长的GDP为z=2.6x+2y. 依题意，知x，y满足

?x?y?3000，?0.02x?0.04y?100，???0.24x?0.36y?840，?x?0，???y?0，

19

作出此不等式组所表示的平面区域如图中阴影部分所示. (第11题)

把z=2.6x+2y变形为y=-1.3x+0.5z，其在y轴上的截距为0.5z. 由图可知当直线y=-1.3x+0.5z经过可行域上的点B时，其纵截距取得最大值，也即z取得最大值. ?x?y?3000，?0.24x?0.36y?840，由?得x=2 000，y=1 000，即点B的坐标为(2 000，1 000)，

故当甲项目投资2 000万元、乙项目投资1 000万元时，GDP增长得最多.

12.1 【解析】如图，作出不等式组

?x?y-2?0，??x?2y-2?0，?x-y?2m?0?所表示的平面区域为△ABC，且其面积等

4于3，再注意到直线AB：x+y-2=0与直线BC：x-y+2m=0互相垂直，所以△ABC是直角三角形，

?2-4m2m?2?1，??33??，D(-2m，0)，从而S△ABC=2|2+2m|·|m+1|-易知，A(2，0)，B(1-m，1+m)，C2m?2412|2+2m|·3=3，化简得(m+1)2=4，解得m=-3或m=1，检验知当m=-3时，已知不等式组

不能表示一个三角形区域，故舍去，所以m=1. (第12题)

13.18 【解析】先画出不等式x+y-4≥0表示的平面区域如图中阴影部分所示，

20

则z=(x+3)+(y-1)表示不等式x+y-4≥0表示的平面区域内的点(x，y)与定点(-3，1)距离的平

22

. (第13题)

21

?|-3?1-4|??22?方，可求得zmin=?1?1?=182

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