(例2)
【解答】作出约束条件表示的可行域如图中阴影部分所示，易得A(1，1)，B(5，2)，
?22??1，?C?5?.
(1)z=
x2?y2表示的几何意义是可行域中的点(x，y)到原点(0，0)的距离，如图所
示，zmax=29，zmin=2. y22(2)z=x?2表示区域中的点(x，y)与点M(-2，0)连线的斜率，如图所示.zmax=kMC=15，2zmin=kMB=7.
|3x?4y?3||3x?4y?3|55(3)z=|3x+4y+3|=5·，而表示区域中的点(x，y)到直线
3x+4y+3=0的距离，如图所示，zmax=26，zmin=10.
【精要点评】(1)此题中与z有关量的几何意义不再是纵截距，而是与点到点的距离、斜
z率、点到直线的距离.(2)在第(3)问中5才是点到直线的距离.
变式 (2015·四川卷)设实数x，y满足约束条件
?2x?y?10，??x?2y?14，?x?y?6，?则xy的最大值为 .
25【答案】2
6
(变式)
【解析】作出可行域如图中阴影部分所示，在△ABC区域中结合图象可知当动点在线段AC
1?2x?y?2515??上时xy取得最大，此时2x+y=10.xy=2(2x·y)≤2?2?=2，当且仅当x=2，y=5时取
2?5?255??，等号，对应点?2?落在线段AC上，故最大值为2.
可转化为线性规划的问题
?5c-3a?b?4c-a，b?clnb?a?clnc，则a的取值范围是 .
例3 已知正数a，b，c满足?【答案】[e，7]
?ab?3?c?c?5，??ab???4，?cca?5c-3a?b?4c-a，?b??ec，?clnb?a?clnc可化为?c【解析】条件?
ab设c=x，c=y，则题目转化为：
?3x?y?5，?x?y?4，??xy?e，y??x?0，y?0，x已知变量x，y满足?求的取值范围.
7
(例3)
作出(x，y)所在的平面区域如图中阴影部分所示.
yx假设在y=e上一点P(x0，y0)处x取得最小值.
y0ex0y0ex(x-1)ex2xxx则0=0，设g(x)=x，g'(x)=x，易知x=1时，g(x)取得最小值，故此时0=e.
yyb当(x，y)对应点C时，x取得最大值7.所以x的取值范围为[e，7]，即a的取值范围是[e，7].
变式 若变量a，b满足约束条件
?a?1，?3?ab?81，?a3b?81，?a2求u=b的最大值.
?log3a?0，??log3a?3log3b?4，?3loga?logb?4，33?【解答】将不等式组两边同时取以3为底的对数得再令x=log3a，
y=log3b，得
?x?0，??x?3y?4，?3x?y?4，?同时令z=log3u=2log3a-log3b=2x-y，题目就转化为：若x，y满足约束
条件
?x?0，??x?3y?4，?3x?y?4，?求z=2x-y的最大值.
8
(变式)
作出可行域如图中阴影部分所示，将z=2x-y化为y=2x-z，平移直线y=2x-z，当直线过点A
?x?3y?4，?3x?y?4，时，z取得最大值，联立?解得A(1，1)，此时zmax=2×1-1=1，umax=3.
线性规划的实际应用问题
例4 (2015·陕西卷)某企业生产甲、乙两种产品均需用A，B两种原料，已知生产1 t每种产品需原料及每天原料的可用限额如下表所示，如果生产1 t甲、乙产品可获利润分别为3万元、4万元，求该企业每天可获得最大利润.
A(t) B(t) 甲 3 1 乙 2 2 原料限额 12 8 【思维引导】设该企业每天生产甲、乙两种产品分别为x t，y t，表示利润为z=3x+4y，
列出约束条件为
?x?0，y?0，??3x?2y?12，?x?2y?8，?将语言文字通过建模转化为线性规划问题.
9
(例4)
【解答】设该企业每天生产甲、乙两种产品分别为x t，y t，则利润z=3x+4y，
由题意可列不等式组
?x?0，y?0，??3x?2y?12，?x?2y?8，?其表示的可行域如图中阴影部分所示.
当直线3x+4y-z=0过点A(2，3)时，z取得最大值zmax=3×2+4×3=18， 所以该企业每天可获得最大利润为18万元.
【精要点评】(1)应用题建模是难点，线性规划类型题往往容易多了不等式或者漏了不等式.
(2)在线性规划建模过程中，要注意实际应用问题对定义域的要求.
1.若实数x，y满足(x+y-1)(x-y+1)≥0且x∈[-1，1]，则x+y的最大值为 . 【答案】3
(第1题)
【解析】因为(x+y-1)(x-y+1)≥0，
10
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