北京东城区示范校2011届高三综合练习数学理科试题（一）(2)

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2f(x)[e?1,e?1]上的最小值． （2）求函数在区间

参考答案

一、选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分）

1．B 2． A 3．B 4． D 5． C 6． C 7．B 8． D 二、填空题（本大题共6小题，每小题5分，共30分）

9． 20 ; 10． -2 ; 11． 12．

3 ； 5?n ； 13． 1 ； 14． n?2 6三、解答题（本大题共6小题，共80分） 15．（本小题满分13分）

解：（Ⅰ）由已知可得cos?? ?co?s??34,sin??…………………………2分 55????scos?sin?sin……………………3分 ??co?6?66??

3341???5252…………………………4分

33?4?10?

????????????（Ⅱ）f????OP?OQ ??cos,sin???66??31co?s?sin?………………………………7分 22??分 ?cos?,sin?……………………6

? ?sin??????………………………………8分

3?

???[0,?) ????3?[?4?3,3)………………………………9分

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?3???分 ?sin??1???………………………………12

23??

?3??f???的值域是???2,1?………………………………13分

??16．（本小题满分13分）

22解：（1）因为a1a5 + 2a3a5 +a 2a8＝25，所以，a3 + 2a3a5 +a5＝25

又an＞o，∴a3＋a5＝5，…………………………3分

又a3与a5的等比中项为2，所以，a3a5＝4

而q?（0,1），所以，a3＞a5，所以，a3＝4，a5＝1，q?1，a1＝16，所以， 2

?1?an?16????2?n?1?25?n…………………………6分

（2）bn＝log2 an＝5－n，所以，bn＋1－bn＝－1，

所以，{bn}是以4为首项，－1为公差的等差数列。。。。。。。。。8分

n(9?n)Sn9?n,? …………………………10分 2n2SSS所以，当n≤8时，n＞0，当n＝9时，n＝0，n＞9时，n＜0，

nnnSSS当n＝8或9时，1?2?????n最大。 ……………………13分

12n所以，Sn?A17．（本小题满分13分）

解：法一：（I）如图：在△ABC中， 由E、F分别是AC、BC中点， 得EF//AB，

又AB?平面DEF，EF?平面DEF． ∴AB∥平面DEF．

（II）∵AD⊥CD，BD⊥CD ∴∠ADB是二面角A—CD—B的平面角 ∴AD⊥BD ∴AD⊥平面BCD

取CD的中点M，这时EM∥AD ∴EM⊥平面BCD 过M作MN⊥DF于点N，连结EN，则EN⊥DF ∴∠MNE是二面角E—DF—C的平面角…………6分

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EQNBPFMDC 更多资料请见http://www.docin.com/huangamao

在Rt△EMN中，EM=1，MN=

32 ∴tan∠MNE=

233，cos∠MNE=217 ………………………8分 （Ⅲ）在线段BC上存在点P，使AP⊥DE……………………10分 证明如下：在线段BC上取点P。使BP?13BC，过P作PQ⊥CD与点Q， ∴PQ⊥平面ACD ∵DQ?13DC?233在等边△ADE中，∠DAQ=30° ∴AQ⊥DE∴AP⊥DE………………………………13分

法二：（Ⅱ）以点D为坐标原点，直线DB、DC为x轴、y轴，建立空间直角坐标系，则A

（0，0，2）B（2，0，0）C（0，23,0,),E(0,3,1),F(1,3,0)……4分 平面CDF的法向量为DA?(0,0,2)设平面EDF的法向量为

n?(x,y,z)

则???DF?n?0??x?3y?0取? 即??DE?n?0??0n?(3,?3,3) ?3y?zcos?DA,n??DA?n|DA||n|?217所以二面角E—DF—C的余弦值为217 …8分 zAEDCBPFx

（Ⅲ）在平面坐标系xDy中，直线BC的方程为y??3x?23 设P(x,23?3x,0),则AP?(x,23?3x,?2)

?AP?DE?AP?DE?0?x?43?BP?13BC…………………12分 所以在线段BC上存在点P，使AP⊥DE …………………………14分

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y

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另解：设P(x,y,0),则AP?DE?3y?2?0?y?23 3又BP?(x?2,y,0),PC?(?x,23?y,0) …………………………12分

?BP//PC?(x?2)(23?y)??xy?3x?y?23

把y?2341代入上式得x?,?BP?BC所以在线段BC上存在点P使333AP⊥DE ……………．13分

18．（本小题满分13分） 6（Ⅰ）解：当a=1,b=2时，

因为f’（x）=（x-1）（3x-5） …………．．2分 故f'(2)?1 ……………．3分 f（2）=0, ……………．4分

所以f（x）在点（2,0）处的切线方程为y=x - 2 ………．．5分 （Ⅱ）证明：因为f′（x）＝3（x－a）（x－a?2b3），……………．7分 由于a

a?2b3． 所以f（x）的两个极值点为x＝a，x＝a?2b3 ………．．9分 不妨设x?2b1＝a，x2＝

a3， 因为x3≠x1，x3≠x2，且x3是f（x）的零点，

故x3＝b． ……………．10分 又因为

a?2b3－a＝2（b－a?2b3）， x1a?2b2a?b4＝2（a＋3）＝3，

所以a，2a?b3，a?2b3，b依次成等差数列，

所以存在实数x2a?b4满足题意，且x4＝3．……………………．13分

19．（本小题满分14分）

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解：当n?1时，a1?S1?1． ……1分

当n?2时，an?Sn?Sn?1

?n2?4n?4??n?1??4?n?1??4

2???2n?5． ……3分

∵a1?1不适合上式, ∴an??

n?1,?1, …4分

?2n?5,n?2.

?1,n?1an??2bn?n??（2）证明: ∵．

2?2n?5,n?2??2n1, 21?112n?5当n?2时，Tn??2?3???, ①

2222n11?112n?72n?5Tn?2?3?4????n?1． ② n222222当n?1时，T1?①－②得:

112112n?5Tn??2?2(3???n)?n?1 222222112n?5 ?(1?n?2)?n?1

2222n?1(n?2)， ……8分 得Tn?1?n2此式当n?1时也适合．

Tn?1?∴

∵

2n?1(n?N*)． n22n?1*?0(n?Ν)， n2∴Tn?1． ……10分 当n?2时，Tn?1?Tn?(1?2n?12n?12n?3)?(1?)?n?1?0， 2n?12n2∴Tn?Tn?1(n?2)． ……12分

T1?∵

131,T2?1??， 244更多资料请见http://www.docin.com/huangamao

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