江苏省沭阳县如东中学2016届高三上学期阶段考试数学试题(2)

8. log23 9．①②④ 10 (?4,?2) 11． 2 12．6 13． (4,??) 14. 2 15．解：p为真得m?2 ，……3分；q为真得1

?6)(0?B??3C D B

A

图（2）

) ? S 3,3) ∴a?2b?(217.

（1）△BCD中

C

A BCCD?，

sin?CDBsin?BD 图（1）

B ∴

aCD，∴CD????sin(??45)sin45a2sin(??45)?????4分

12a2cos??∴S?BC?CD?sin?BCD ?，0???90??6分（其中范围1分） ?24sin(??45)（2）d?asin?????8分

ka3sin?cos?2ka3sin?cos?y?kSd???????10分 ??2(sin??cos?)4sin(??45)t2?1令sin??cos??t，则t?(1,2]，sin?cos??

2ka3(t2?1)ka31?(t?)在区间(1,2]上单调递增，????12分 ∴y?4t4t∴当t?2时y取得最大值，此时???4，

即D在AB的中点时，遮阳效果最佳.??????14分 18．解：（1）因为函数f(x)?loga1?mxx?1(a?0,a?1)的图象关于原点对称，所以

f(?x)?f(x)?0即loga1?mx1?mx(1?mx)?1?mx??loga?loga?0，

?x?1x?1(?x?1)(x?1)(1?mx)?1?mx??1，得m2?1,m?1或m??1……………………………………….3分

(?x?1)(x?1)当m?1时，

1?mx??1?0舍去； x?1

当m??1时，

1?mx1?x1?x??0，解得x??1或x?1. ，令x?1x?1x?1x?1，任取1?x1?x2， x?1所以符合条件的m值为-1 …………………………………………………………………5分 （2）由（1）得f(x)?logaf(x2)?f(x1)?loga?x?1??x1?1?……………………6分 x2?1x?1?loga2?loga1?x2?1??x1?1?x2?1x1?1?1?x1?x2 ∴?x2?1??x1?1???x2?1??x1?1??2(x1?x2)?0，

∴0??x2?1??x1?1?………………………………………………………………….9分

?1?x2?1??x1?1??x2?1??x1?1?即f(x)?f(x)?0，此时f(x)为增函数；

?021?x2?1??x1?1?∴当0?a?1时，loga当a?1时，loga?x2?1??x1?1?即f(x)?f(x)?0，此时f(x)为减函数…12分

?021?x2?1??x1?1?（3）由（2）知，当a?1时f(x)在(1,??)上为减函数；同理在(??,?1)上也为减函数 当(t,a)?(??,?1)时，f(a)?f(x)?f(t)?0与已知矛盾，舍去；………………14分 当(t,a)?(1,??)时，因为函数f(x)的值域为(1,??) ∴f(a)?1，解得t=1,a?1?2……………………………………16分

x19. （1）令F?x??e?x?1,x?R，

?F'?x??ex?1?0得x?0,

?当x?0时F'?x??0,F?x??;当x?0时F'?x??0,F?x??;

?F?x?min?F?0??0，

由最小值定义得F?x??F?x?min?0即e?x?1?????????????（4分）

x（2）g?x?在x?x0处切线方程为y?1x?lnx0?1 ① x0xxx设直线l与y?e图像相切于点x1,e1，则l:y?e1x?e1?1?x1? ②??(6分)

x??

?1x1 ③ ?x?e由①②得 ④ ?0?lnx?ex1?1?x?

1?0x0?1?lnx0??0 ⑤

x0?1下证x0在?1,???上存在且唯一.

x2?1x?1?0 令G?x??lnx??x?1?，G'?x??2x?1x?x?1??G?x?在?1,???上?.

?2e2?32?0,G?e??2?0,G?x?图像连续，?存在唯一x0? ?1,???使⑤式成又G?e??e?1e?1立，从而由③④可确立x1.故得证????????????????????（10分） f?x??1?1?0即证当a?0时不等式ex?1?x?ax即ex?ax?x?1?0在(1) 由（1）知

x?0,???上有解.

令H?x??ex?ax?x?1，即证H?x?min?0???????????????（12分） 由H'?x??ex?a?1?0得x?ln?a?1??0. 当0?x?ln?a?1?时，H'?x??0,H?x??， 当x?ln?a?1?时，H'?x??0,H?x??.

?H?x?min?H?ln?a?1???a?1?aln?a?1??ln?a?1??1.

令V?x??x?xlnx?1，其中x?a?1?1

则V'?x??1??1?lnx???lnx?0，?V?x???V?x??V?1??0.

综上得证???????????????????????????????(16分)

2|f(x)|?g(x)|x?1|?a|x?1|，变形得|x?1|(|x?1|?a)?0， 20．解（1）方程，即

显然，x?1已是该方程的根，从而欲原方程只有一解，即要求方程|x?1|?a， 有且仅有一个等于1的解或无解， 结合图形得a?0. .... 4分

2f(x)≥g(x)(x?1)≥a|x?1|（*）对x?R恒成立， x?R（2）不等式对恒成立，即

①当x?1时，（*）显然成立，此时a?R；

x2?1?x?1,(x?1),x2?1?(x)???a?|x?1||x?1|，令??(x?1),(x?1). ②当x?1时，（*）可变形为

因为当x?1时，?(x)?2，当x?1时，?(x)??2， 所以?(x)??2，故此时a≤?2.

综合①②，得所求实数a的取值范围是a≤?2. ?????????8分

?x2?ax?a?1,(x≥1),?2??x?ax?a?1,(?1≤x?1),?x2?ax?a?1,(x??1).2h(x)?|f(x)|?g(x)?|x?1|?a|x?1|（3）因为=??10分

a?1,即a?22①当时，结合图形可知h(x)在[?2,1]上递减，在[1,2]上递增，

且h(?2)?3a?3,h(2)?a?3，经比较，此时h(x)在[?2,2]上的最大值为3a?3.

aa[?,1]0≤≤1,即0≤a≤22②当时，结合图形可知h(x)在[?2,?1]，2上递减，

aaa2[?1,?][1,2]h(?)??a?1h(?2)?3a?3,h(2)?a?3224在，上递增，且，，

经比较，知此时h(x)在[?2,2]上的最大值为3a?3.

aa[?,1]?1≤?0,即-2≤a?02③当时，结合图形可知h(x)在[?2,?1]，2上递减， aaa2[?1,?][1,2]h(?)??a?1h(?2)?3a?3,h(2)?a?3224在，上递增，且，，

经比较，知此时h(x) 在[?2,2]上的最大值为a?3.

3aaa[?2,][1,?]?≤??1,即-3≤a??22，2上递减， ④当22时，结合图形可知h(x)在aa[,1][?,2]在2，2上递增，且h(?2)?3a?3?0, h(2)?a?3≥0，

经比较，知此时h(x) 在[?2,2]上的最大值为a?3.

a3??,即a??32当2时，结合图形可知h(x)在[?2,1]上递减，在[1,2]上递增，

故此时h(x) 在[?2,2]上的最大值为h(1)?0.

综上所述，当a≥0时，h(x)在[?2,2]上的最大值为3a?3； 当?3≤a?0时，h(x) 在[?2,2]上的最大值为a?3；

当a??3时，h(x) 在[?2,2]上的最大值为0.???????????????16分 21. 0

22. （Ⅰ）4，（Ⅱ）2或a<=0

23.设?CBA??，AB?BD?a，则在三角形BCD中，由余弦定理可知CD2?2?a2?22sin?，

422?a?6a?1a?1在三角形ABC中，由余弦定理可知cos??，可得sin??，所以22a22aCD2?2?a2??a4?6a2?1，令t?2?a2，则

CD2?t??t2?10t?17?t??(t?5)2?8 ≤2?(t?5)2?[?(t?5)2?8]?5?9，

当(t?5)2?4时等号成立．(导数，判别式也可以)，CD最大值=3.

24．（1）?,1?

?2??3?-------------------3分

??x?1?3kx????k,k?1?2?（2）∵f?2,?k?x???，k?N* ???2?1?x??k2,x????k?1? 2,k?1??-------------------5分

??1?3x???1?f?x?k2,?k,k?2??是增函数k?x?????1?

??2?1?x??k2,x???k?2,k?1??是减函数∴f?x?的第k阶阶梯函数图像的最高点为P?1k?k??k?2,1?2?? -------------------6分

第k?1阶阶梯函数图像的最高点为P?3k?1??k?2,1?k?1?2?? 所以过P1kPk?1这两点的直线的斜率为?2． 同理可得过P?1k?1Pk?2这两点的直线的斜率也为?2 ． 所以f?x的各阶阶梯函数图像的最高点共线．

直线方程为y?1??1?2??x?1?2??即2x?4y?5?0 …8分 (3)同理最低点：Q??k?2?k?1??2k?535k??k?1,2?? ，d?22?42?10

…10分

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