单调性求极限方法总结（论文）(2)

利用这个推论很容易便可知对于数列?xn?:xn?1?限存在且为1.

1?1??? ?a?0,x1?0? 的极 2x?n2??3?xn?4利用差比法研究单调性求极限

例７ 证明数列 an?1?an?1 ?an?0?收敛并求极限

1?an?1??an?an?1a??a证明：现an?1-an与an?an?1同号，an?1?an??1?n???1?n?1??1?a1?a1?a1?a?n??n?1?n??n?1??与an?1?an?2同号……,与a1?a0同号，故当a1?a0?0时?an?单减，当a1?a0?0时?an?单增，且1?an?2，?an?单减时有下界1，单增时有上界2，根据单调有界原理，?an??Aa??A2?A?1?0 存在极限，设为A ?liman?1?lim?1?n? ?A?1?n??n??1?A?1?an?容易求得A?1?5 2n??例８ 已知a0?6,an?6?an?1,?n?1,2,??.证明liman存在并求其值. 例８ 可以作如下推广:

命题 3 若x0?0,xn?1?pa?xn,?a?0,p?N,n?0,1,2,??,则数列?xn?极限存在且为

lp?l?a?0的正根.

证明 ： 由xn?1?pppa?xn得xnp?1?a?xn.又x0?0,a?0,则x1?a?0?a?0.由递推关

pp系知xn?0.因函数y?xp是递增函数,则由xn?1?xn?a?xn??a?xn?1??xn?xn?1 pppp知 xn?1?xn 与 xn?xn?1的符号相同.而 xn?xn?1 的符号又与 xn?xn?1 的符号相同,故依p次下去便知最终与 x2?x1的符号相同.而x2?x1p?a?x1?x1p?a?a?a?a?0, pp即x2?x1,所以 x2?x1?0,从而 xn?1?xn?0,于是便有xn?1?xn,故数列?xn?是单调递增

pppp数列.又x1?a?a?1,假设当n?k时都有 xk?a?1 成立,则当 n?k?1时,

pppxk?1?pa?xk?a?a?1?

ppp?pa?1?a?1,由数学归纳法知,对一切自然树n都有

?pppxn?a?1,即数列?xn?有界.由数列的单调有界定理知数列?xn?必存在极限,设limxn?l,对

n??xn?1?pa?xn两边同时取极限的得 lp?a?l 即 lp?l?a?0.所以数列?xn?收敛于方程

lp?l?a?0的正根.

推论 若x0?0,a?0,xn?1?2a?xn ?n?0,1,2,??,则数列?xn?的极限存在且收敛于

1?1?4a . 2方程x?x?a?0的一个正根,即limxn?n??注： 利用该推论易知例8中的数列?an?的极限存在且为3.文[1]、[13]中的一些题也可由此推论直接得出.

?n1?例9 证明 lim???ln(lnn)? 存在.

n???k?2klnk?证明 ： 设f(x)?n1,可知f(x)在?1,???上非负单调递减,所以 xlnxn?1n?1111, dx?dx??2xlnx?2xlnx?k?2klnkn11即ln(lnn)?ln(ln2)??,亦即an???ln(lnn)??ln(ln2),

klnkklnkk?2k?2n?1?n?11??n1?所以数列?an?有界.又an?1?an????ln(lnn?1)?????ln(lnn)?

?k?2klnk??k?2klnk?=

1??ln(ln(n?1))?ln(lnn)?

(n?1)ln(n?1)=

n?111??dx nxlnx(n?1)ln(n?1)n?111???dx

n(n?1)ln(n?1)(n?1)ln(n?1)=0,

即an?1?an,所以数列?an?是单调递减的数列.由数列的单调有界定理知,数列?an?的极限存在,

?n1?也就是lim???ln(lnn)?存在.

n???k?2klnk?

5 利用比商法研究单调性求极限

例10 设0?x1?3,xn?1?例10 可以作如下推广: 命题 4 若0?x1?p,xn?1??3?xn?xn,?n?1,2,??.证明:数列?xn?的极限存在并求出此极限.

xn?p?xn?,?n?1,2,??,则数列?xn?的极限存在且为

p. 2证明 : 由0?x1?p知x1?0且p?x1?0.由算术—几何平均不等式

0?x2?x1?p?x1??假设0?xk?1?x1?p?x1??p, 22p?k?1?,再次用算术—几何平均不等式知 21p0?xk?1?xk?p?xk???xk?p?xk??,

22p由数学归纳法知,对任意正整数n?1均有0?xn?,因而数列?xn?有界.又当n?1时,

2xn?1?xnxn?p?xn?xn?p?xn?xnp?1?1, xnn??故xn?xn?1?n?1?,即数列?xn?单调递增.由数列的单调有界定理知limxn存在,设为a,对

xn?1?xn?p?xn?两边同时取极限得:a?a?p?a?,可解得a?limxn?n??p或a?0（舍去）.故2p. 23. 2注： 由命题4立得例10的极限存在且为

结束语

综上所述，基于单调性的一个应用出发，本文着重从微分法、归纳法、使用重要不等式法、差比法、比商法这五个角度对数列和函数的单调性证法通过具体的例子进行了详细的阐述和归纳。并且，通过本文可以看到利用单调性在求一些有特殊形式的极限时常常很有效，本文对几个特殊类型的数列在形式上进行推广，得到新的命题及推论，并对命题利用单调性的那几种证法进行了详细的论证和归纳，从而很多题目都可由此命题和推论得出其极限值。

为了更好地利用单调有界原理方法求极限，应对单调性的证法多总结和归纳，对单调性的应用多分析和研究，这对利用单调有界原理方法求极限将起到很大的帮助作用。 .

参 考 文 献

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