单调性求极限方法总结（论文）

0 引言

单调性是函数和数列的一个重要性质,在求函数和数列的极限问题中有着重要的应用.因此,对单调性方法的研究和归纳就显得非常重要.本文主要从微分法、归纳法、使用重要不等式法、差比法、比商法五个角度研究数列和函数的单调性证法，进而利用单调有界函数（或数列）必存在极限原理来求极限，并且就几个具有特殊形式的极限问题在形式上进行了推广，得到新的命题及推论，并利用单调性证法对其进行加以证明。

1利用微分法证明单调性求极限

例1 证明：limfn??'?x?存在，并求极限值。

证明：（1）证明limf'?x?存在。 事实上，因为f?x?在?0,???上可导且单增，所以

n??f'?x??0，即f'?x?有下界。设f?x?在?0,???上单调递增且为有界的连续函数，又f?x?在?0,???内有二阶导数，且f\?x??0

又因为f\?x??0?f'?x?递减，综上知limf'?x?存在，设为L

n??（2）求L。由f'?x??0?limf'?x??L?0，现证L=0，若不然，f'?x??L?0，由

n??极限的保号性，存在N，若x?N时，有f'?x??1，在?N,x?上应用微分中值定理，2有 f?x??f'?N??f'????x?N? ?N???x?

f?x??f?N??1?x?N??? （N固定，当x??） 2n??当f?x?在?0,???单增有上界极限存在矛盾。所以只有limf'?x?=0

?11?1???ln?1??? 例2 设f?x?在?1,???上连续可微，且f?x??2?f?x??1?x?x????'求证limf?x?存在。

x??

?1?1证明：单调性：由当x?1时，ln?1???所以f'?x??0?f?x?在?1,???单增

?x?x有界性：由已知f'?x??x1x111?1?（因为?ln?1????xxx?1?x?1?1??1??1??1??1?11??e?1??x?ln1??1?x?1ln1???ln???????????1???x）

x?1?x??x??x??x??x??f'?x??11??xx?1x?1?x?x?x?11x?x?1?11?3

x?1?x2x2由f'?x?的表达式可见f'?x?可积，且由积分单调性知

?x1f?x?dx??'x11?31x2dx?1??1?f?x??f?1??1?f?x??f?1??1 ?x??1,???? 2x所以limf?x?存在。

x??2 用归纳法证明单调性求极限

例3 设a1?c,an?1?c?an?c?c?...?c（n层根号，c?0）

证明：用归纳法证单调递增，且以c?1为上界。

?a1?c?c?1,a2?c?c?c?a1设an?an?1且an?1?c?1

那么an?1?c?an?c?an?1?an，an?c?an?1?c?c?1?c?2c?1?c?1 即?an?单调有上界c?1，故?an?存在极限

liman?1?c?liman?liman?n??n??n??1311?1?4c 2??例4 若a?0,a1?a?a?13?,a??a?a?,?,

211313an?an?1?an?2,?,试证明数列?an?收敛于方程x3?x?x3的一个正根.

?13?131

命题 1 若a?0,x1???a?a??,x2???x1?a??,?,xn???xn?1?xn?2??,?,p?0,

1p1p1p1p1p1p??????则数列?xn?为单调有界数列,必存在极限.

证明 分两种情况: （i）当x1?a,

pp 因为x2???a?a??,即x2?x1?ap, x1?a?ap, ?x1?a??, x1??????1p1p1p1p11所以x?x???x1?ap?????a?ap???x1?a?0,即x2p?x1p,故有x2?x1.

????p2p111假设当n?k时,均有xk?1?xk ?k?1,k?N?,则当 n?k?1时,有

pxk?1???xk?xk?1??, 即xk?1?xk?xkp?1,

??1p1p1所以

xpk?1?x???xk?xkp?1?????xk?1?xkp?2????xk?xk?1????xkp?1?xkp?2??,

??????pk1p1p1111由xk?xk?1,xk?1?xk?2?xkp?1?xkp?xk?1?xk.由数学归纳法可知,对任意自然数n均有

xn?1?xn.所以数列?xn?是单调递增的数列.

下证数列?xn?有界． 令f?x??x?x?x,因为

p1pf?1??1?1?1??1?0, f?2??2?2?2?0,

pp1p1p由根的存在原理知f?x?在?1,2?内必有一正根,而在?2,???上无根,设M是f?x?最大的正根.

1pp??由x1?a,即?a?a??a得a?ap?a,所以f?a??a???a?ap???0. ????1p1p1又a?0,所以a?M,但是M?M?Mp, ① x?a?a?M?M?Mp ,即 x1?M;

② 假设当n?k时均有xk?M,?k?1,k?N?,则当n?k?1时,有

p11p1p1pxkp?1?xk?xkp?1?M?Mp?Mp,

11即xk?1?M.

由①②及数学归纳法可知,对一切自然数n均有xn?M成立.所以数列?xn?是单调递增且有上界的数列.

（ii） 当x1?a时,同理可证数列?xn?是单调递减且有下界的数列. 由（i）（ii）可知数列?xn?是单调有界数列,从而命题1得证.

3 使用重要不等式a1a2...an?例5 设0?a1?b1,a2?a1?a2?...?an研究单调性求极限

n2an?1bn?12a1b1,b2?a1b1,an?,bn?an?1bn?1 （n?1,2,...） a1?b1an?1?bn??1证明：?an?,?bn?收敛于同一极限

证：需要找到an与bn的 关系以及an与an?1,bn与bn?1的关系，利用重要不等式

ab?a?ban?1bn?1ab有an??n?1n?1?an?1bn?1?bn故对任意n?N有

12an?1bn?1(an?1?bn??1)20?an?bn，以下证单调性, 首先，bn?an?1bn?1?bn?12?bn?1??bn?单调递减，为研究?an?单调性，需要知道函数

x?y关于一个变量x或y的单调性，由于x?y?x?y?y22an?1bn?12an?1an?1?0且注意所以a???an?1??an?a?b???nn?1n?12an?1?bn??1an?1?an?1?x?y?x?x?y?单调。

有界性：?bn?单减且0?bn?b1??an?有上界，an?a ?n???由递推式

an?2an?1bn?1和bn?an?1bn?1中任一个求极限，如bn?an?1bn?1令an?1?bn??1n??n??n???b?ab?b2?ab?a?b所以liman?limbn

例6 证明数列?xn?收敛,其中

1?3??x?x1?1,xn?1??,n?1,2,?,并求极限limxn. n??n??2?xn?通过观察、猜想、分析可将例6推广为以下更一般的形式:

命题 2 若a?0,x1?0,p?N,定义xn?1?1pp?1a?p,n?1,2,?,则数列?xn?存xn?x1npp在极限且为a.

证明 由x1?0可知

1p?1a1?p1?a?1ap?1px2?x1?x1???p?1?x1?p?1???p?x1?p?1?ap,

ppp?x1?px11p当且仅当x1?a时取等号.

设xk?a,则

1pxk?1?p?1a?p1?a? ??xk?x1?p?1x?kk?p?1?ppp?xk?1?a???

x?x???x?=kkk????xkp?1?p??????p?1个??11ap?1p??p?xk?p?1?ap, pxk当且仅当xk?a时取等号.

由数学归纳法知,对任意自然数n都有:xn?a.故数列?xn?有界.又当n?1时,

1p1pa?xnpp?1a1?pa1, xn?1?xn?xn?xn?xn?p?1?xn?ppppxnpxnp?1p因为xn?a,所以a?xn?0.又因为pxnp?1?0,所以xn?1?xn?0,即xn?1?xn.所以数列?xn?1p是单调递增的.

由数列的单调有界定理知:limxn 存在,设为t,对xn?1?n??p?1a?pxn?x1n两边同时 pp11p?1a1?ppt?t,可解得t?a.所以说数列极限存在且为ap. 取极限得:t?pp 注 由以上命题2易得例6中的数列?xn?极限存在且为3. 推论 当x1?0,xn?1?

1?k?k?1?xn?x1,n?1时,数列?xn?极限存在且为1. nk??

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