11.6空间直角坐标系及两点间的距离(2)

11．6空间直角坐标系与两点间的距离

【典型例题】

[例1] （1）A．提示：点(a,b,c)关于x轴的对称点是(a,－b,－c)． （2）A．提示：|AO|＋|BO|=|AB|． （3）B．提示：（x1,y1,z1)与（x2,y2,z2)中，x1= x2． （4）（5，－8，17）．提示：用中点坐标公式． （5）x=0．提示：所求点集是yoz平面．

例2、因直径两端点关于球心对称，设另一端点的坐标为（x,y,z)则

－1＋x2＋y2＋y

=1，x=3； =1 ，y=0； =2，y=2． 222故直径的另一个端点的坐标为（3，0，2） 球的半径r2=(1＋1)2＋(1－2)2＋(2－2)2=5 球的面积为20π． .

例3、（1）由题知直三棱柱ABC—A1B1C1中，C（0，0，0） A1（0，1，1），B（1，0，0），得A（0，1，0），B1（1，0，1），C1（0，0，1）

由两点间的距离公式知，面对角线A1B与AB1的长为(0?1)2??1?0???1?0??3

22面对角线A1C与AC1及BC1与B1C的长均为(1?0)2??0?0???1?0??2 22（2）解法一 记A1B与AB1交点为E，A1C与AC1交点为F，在△A1BC中，EF∥BC，而BC⊥面A1CAC1，∴EF⊥面A1CAC1，四边形A1CAC1为矩形，直线EF上的任意一点到A1、C、A、C1距离相等；

又∵四边形AA1B1B为矩形，E到A、A1、B1、B四点距离相等

∴E点到A、A1、B1、B、C、C1六点距离相等，直三棱柱ABC—A1B1C1有外接球，球心在E点。

1113由于E点是线段A1B的中点，故E点的坐标为（ ， ， ），球的半径r=

22221113

球的方程为（x－ )2＋(y－ )2＋(z－ )2=

2224

（2）到点A1、C、A、C1距离相等的点，在过A1C与AC1交点且与面A1CAC1垂直的11

直线上，该直线上的点满足y= ,z= ．

22

11

设存在球心P（x， ， ）则必有PA=PB

22

?1?1x???1????2?422?x?1?2?1?1 441

解之得：x=

2

易验证点P到A、A1、B1、B、C、C1六点距离相等，直三棱柱ABC—A1B1C1有外接

11113球，球心在P（ ， ， ）。球的半径r= A1B=

222221113

球的方程为（x－ )2＋(y－ )2＋(z－ )2=

2224

解法三 同解法二，到点A1、C、A、C1距离相等的点，在过A1C与AC1交点且与面11

A1CAC1垂直的直线上，该直线上的点满足y= ,z= ．同理，到B1、B、C、C1四点距离

22相等的点，一定在过A1B与AB1交点且与面AA1B1B垂直的直线上，该直线上的点满足x= 11111

,z= ．综合得，球心为P（ ， ， ）（下略） 22222

例4、以点A为原点，面ABC所在平面为xoy面，将AB置于ox轴正半轴上，建立空间直角坐标系，如图．

11515AC=AB =2，BC=1，易求得S△ABC= ×1×=

224A（0，0，0），B（2，0，0）C（z 157，，0） 44设D（x,y,z)

由DA=1得 x2＋y2＋z2=1 ① 71522

由DC=2，得（x－ )2＋(y－)＋z= 4 ②

44由DB=2，得（x－2）2＋y2＋z2=4 ③ 1

由①③得－4x＋4=3 x= ④

47491515将①④代入②得1－ x＋ ＋ －y=4

216162y=y C A D B x 15 ⑤ 6011 ＋ ＋z2=1 1616×15

将④⑤代入①得 z2=

14210 z=± 1515∴D点到平面ACB的距离为【课内练习】

210． 151．C．提示：点(a,b,c)关于y轴的对称点是(－a, b,－c)．

2．B．提示：xoy平面内的点，z=0．

3．A．提示：相当于求点关于平面的对称点坐标． 4．D．提示：联想圆锥． 5．（－4， 1，－2）．提示：点(a,b,c)关于原点的对称点是(－a, －b,－c)． 6．3±23 ．提示：用两点间距离公式，解方程．

7．13 ．提示：联想长方体．

8．不能共线．提示：数形结合知，若ABC三点共线，则CA＋AB=CB，将坐标代入后，方

程无解．

9．C1（4，3，3）D1（4，－1，3）．提示：C1点与C有相同的x，与B有相同的y，与A1有相同的z．D1点与A1有相同的y和z，与C有相同的x．

10．6提示：原表达式是空间点（x,y,z)到（0，0，0）的距离与到（－1，2，1）的距离之

和，最小值即线段的长．

11．6空间直角坐标系与两点间的距离

A组

1．C．提示：点(a,b,c)关于yoz平面的对称点是(－a, b, c)． 2．B．提示：数形结合，画出一个长方体看一看． 3．C．提示：取一个特殊数据，画图看规律．

14

4．（0，0， ）．提示：设出点的坐标，用两点间距离公式建立方程．

95．10 ．提示：先求A点在x 轴上的射影．

6．2，5 ．提示：建立直角坐标系，确定各点的坐标，用两点间的距离公式．

1113

7．（x－ )2＋(y－ )2＋(z－ )2= ,提示：以PQRS四点为顶点构造一个正方体运算最方

2224便．

8．存在B（0，1，0）．提示：设点P、B的坐标，用勾股定理，或用三垂线定理．

B组

1．D．提示：点(a,b,c)关于原点的对称点是(－a,－ b, －c)． 2．D．提示：类比平面上圆的定义． 3．C．提示：画张图观察．

4．5．提示：所求距离是|－5|=5．

5．相切．提示：球的方程揭示了动点到定点的距离等于定长，定点即球心，定长即半径，我们用两点间距离公式，判断两球心之间的距离与半径之和的大小关系． 6．提示：证明两边长的平方和等于第三边长的平方． 7．（0，0，－2）提示：平面上的点构成的集合是空间到线段两端点距离相等的点的集合，依据这一性质列方程并化简，可得平面的方程，求交点时只须令x=0，y=0．

8．－4＜a＜2,提示：球心（1，－2，－1）到z=a的距离为∣a＋1∣,球的半径为3，若平

面与球相交，截面圆半径为9??a?1?，由题知π[9－（a＋1)2]＞π,解之即得．

2

百度搜索“77cn”或“免费范文网”即可找到本站免费阅读全部范文。收藏本站方便下次阅读，免费范文网，提供经典小说综合文库11.6空间直角坐标系及两点间的距离(2)在线全文阅读。