高等数学公式(3)

绝对收敛与条件收敛：

(1)u1?u2???un??，其中un为任意实数；(2)u1?u2?u3???un??如果(2)收敛，则(1)肯定收敛，且称为绝对如果(2)发散，而(1)收敛，则称调和级数：?　　级数：?1nn发散，而收敛；ｐ?１时发散　　p?1时收敛收敛级数；(1)为条件收敛级数。n

?(?1)n收敛；12　　p级数：?1np幂级数：

23n1?x?x?x???x??　　x?1时，收敛于x?1时，发散11?x对于级数(3)a0?a1x　?a2x???anx??，如果它不是仅在原点x?R时收敛数轴上都收敛，则必存在R，使2n收敛，也不是在全x?R时发散，其中R称为收敛半径。x?R时不定??0时，R?求收敛半径的方法：设liman?1an??，其中an，an?1是(3)的系数，则1?n????0时，R???????时，R?0函数展开成幂级数：

函数展开成泰勒级数：余项：Rn?f(n?1)f(x)?f(x0)(x?x0)?(x?x0)n?1f??(x0)2!(x?x0)???2f(n)(x0)n!(x?x0)??n(?)(n?1)!,f(x)可以展开成泰勒级数的f??(0)2!2充要条件是：limRn?0n??x0?0时即为麦克劳林公式：f(x)?f(0)?f?(0)x?x???f(n)(0)n!x??n一些函数展开成幂级数： (1?x)m?1?mx?x3m(m?1)2!x???n?12m(m?1)?(m?n?1)n!x??　　　(?1?x?1)nsinx?x?3!?x55!???(?1)x2n?1

(2n?1)!??　　　(???x???)

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欧拉公式：

ix?ix?e?e?cosx??2?cosx?isinx　　　或?

ix?ix?sinx?e?e?2?eix三角级数：

?f(t)?A0??An?1nsin(n?t??n)?a02???(an?1ncosnx?bnsinnx)其中，a0?aA0，an?Ansin?n，bn?Ancos?n，?t?x。正交性：1,sinx,cosx,sin2x,cos2x?sinnx,cosnx?任意两个不同项的乘积上的积分＝0。在[??,?]

傅立叶级数： f(x)?a02???(an?1ncosnx?bnsinnx)，周期?2??1a??n??其中?1?bn????1?　122????f(x)cosnxdx　　　(n?0,1,2?)????f(x)sinnxdx　　　(n?1,2,3?)13?2?142152???162?281?1222??1332??1442????????26（相加）?????2241?2?1212122（相减）12正弦级数：an?0，bn??2?0f(x)sinnxdx　　n?1,2,3?　f(x)??ba02nsinnx是奇函数?余弦级数：bn?0，an???0f(x)cosnxdx　　n?0,1,2?　f(x)???ancosnx是偶函数

周期为2l的周期函数的傅立叶级数：

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f(x)?a02???n?1(ancosn?xl?bnsinn?xl)，周期?2ll?1n?xa?f(x)cosdx　　　(n?0,1,2?)?n?ll??l其中?l1n?x?bn??f(x)sindx　　　(n?1,2,3?)?l?ll?

微分方程的相关概念：

一阶微分方程：y??f(x,y)　或　P(x,y)dx?Q(x,y)dy?0：一阶微分方程可以化为g(y)dy?f(x)dx的形式，解法：可分离变量的微分方程?g(y)dy??yxf(x)dx　　得：G(y)?F(x)?C称为隐式通解。程可以写成dudx，u?dudxdydx?f(x,y)??(x,y)，即写成dxx?duyx的函数，解法：yx代替u，齐次方程：一阶微分方设u?，则dydx?u?x??(u)，??(u)?u分离变量，积分后将即得齐次方程通解。一阶线性微分方程： 1、一阶线性微分方程：dydx?P(x)y?Q(x)?P(x)dxy?Ce?当Q(x)?0时,为齐次方程，当Q(x)?0时，为非齐次方程，2、贝努力方程：dydxy?(?Q(x)e?nP(x)dxdx?C)e??P(x)dx

?P(x)y?Q(x)y，(n?0,1)全微分方程：

如果P(x,y)dx?Q(x,y)dy?0中左端是某函数的全微du(x,y)?P(x,y)dx?Q(x,y)dy?0，其中：?u(x,y)?C应该是该全微分方程的?u分方程，即：?u?P(x,y)，?Q(x,y) ?x?y通解。二阶微分方程： dydx22?P(x)dydx?Q(x)y?f(x)，f(x)?0时为齐次f(x)?0时为非齐次

二阶常系数齐次线性微分方程及其解法： (*)y???py??qy?0，其中p,q为常数；求解步骤：1、写出特征方程：(?)r?pr?q?0，其中r，r的系数及常数项恰好是2、求出(?)式的两个根r1,r222(*)式中y??,y?,y的系数； 13

3、根据r1,r2的不同情况，按下表写r1，r2的形式 出(*)式的通解：

(*)式的通解 两个不相等实根(p2?4q?0) 两个相等实根(p2?4q?0) 一对共轭复根(p2?4q?0) r1???i?，r2???i?y?c1er1x?c2er2x y?(c1?c2x)er1xy?e?x(c1cos?x?c2sin?x) ???p2，??4q?p22 二阶常系数非齐次线性微分方程 y???py??qy?f(x)，p,q为常数f(x)?ePm(x)型，?为常数；f(x)?e[Pl(x)cos?x?Pn(x)sin?x]型?x?x

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