高等数学公式(2)

多元函数微分法及应用 全微分：dz??z?xdx??z?ydy　　　du??u?xdx??u?ydy??u?zdz全微分的近似计算：多元复合函数的求导法?z?dz?fx(x,y)?x?fy(x,y)?y：dz?z?u?z?vz?f[u(t),v(t)]　　　????　dt?u?t?v?t?z?z?u?z?vz?f[u(x,y),v(x,y)]　　　?　????x?u?x?v?x当u?u(x,y)，v?v(x,y)时，du??u?xdx??u?ydy　　　dv??v?xdx??v?ydy　隐函数的求导公式：FFFdydy??dy隐函数F(x,y)?0，　　??x，　　2?(?x)＋(?x)?dxFy?xFy?yFydxdxFyFx?z?z隐函数F(x,y,z)?0，　??，　　???xFz?yFz?F?F(x,y,u,v)?0?(F,G)隐函数方程组：?　　　J???u?G?(u,v)?G(x,y,u,v)?0?u?u?x?u?y????1?(F,G)?v1?(F,G)?　　　　???J?(x,v)?xJ?(u,x)1?(F,G)?v1?(F,G)?　　　　???J?(y,v)?yJ?(u,y)?F?v?Fu?GGu?vFvGv2

微分法在几何上的应用：

?x??(t)x?x0y?y0z?z0?空间曲线?y??(t)在点M(x0,y0,z0)处的切线方程：????(t0)??(t0)??(t0)?z??(t)?在点M处的法平面方程：若空间曲线方程为：??(t0)(x?x0)???(t0)(y?y0)???(t0)(z?z0)?0FzGzGz,FzFxGx,FxGxFyGy??Fy?F(x,y,z)?0,则切向量T?{?Gy??G(x,y,z)?0}曲面F(x,y,z)?0上一点M(x0,y0,z0)，则：?1、过此点的法向量：n?{Fx(x0,y0,z0),Fy(x0,y0,z0),Fz(x0,y0,z0)}2、过此点的切平面方程3、过此点的法线方程：：Fx(x0,y0,z0)(x?x0)?Fy(x0,y0,z0)(y?y0)?Fz(x0,y0,z0)(z?z0)?0x?x0Fx(x0,y0,z0)?y?y0Fy(x0,y0,z0)?z?z0Fz(x0,y0,z0) 6

方向导数与梯度：

函数z?f(x,y)在一点p(x,y)沿任一方向其中?为x轴到方向l的转角。函数z?f(x,y)在一点p(x,y)的梯度：gradf(x,y)?它与方向导数的关系是单位向量。?l多元函数的极值及其求法： ??f是gradf(x,y)在l上的投影。?f??f?i?j?x?yl的方向导数为：?f?l??f?xcos???f?ysin????f??：?gradf(x,y)?e，其中e?cos??i?sin??j，为l方向上的?l设fx(x0,y0)?fy(x0,y0)?0，令：fxx(x0,y0)?A,　fxy(x0,y0)?B,　fyy(x0,y0)?C??A?0,(x0,y0)为极大值2AC?B?0时，???A?0,(x0,y0)为极小值??2则：值?AC?B?0时，　　　　　　无极?AC?B2?0时,　　　　　　　不确定???

重积分及其应用：

??Df(x,y)dxdy???D?f(rcos?,rsin?)rdrd???z???z???1??????dxdy??x???y?22曲面z?f(x,y)的面积A???Dx平面薄片的重心：x?MM??x?(x,y)d??D???(x,y)d?D,　　y?MMy???DDy?(x,y)d????(x,y)d???D平面薄片的转动惯量：平面薄片（位于Fx?f对于x轴Ix???Dy?(x,y)d?,　　对于y轴Iy?2x?(x,y)d?2xoy平面）对z轴上质点M(0,0,a),(a?0)的引力：F?{Fx,Fy,Fz}，其中：，　　Fy?f3??D?(x,y)xd?222??D?(x,y)yd?222，　　Fz??fa??3D?(x,y)xd?3(x?y?a)2(x?y?a)2(x?y?a)2222

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柱面坐标和球面坐标：

?x?rcos??柱面坐标：?y?rsin?,　　　???f(x,y,z)dxdydz???z?z?其中：F(r,?,z)?f(rcos?,rsin?,z)?x?rsin?cos??2球面坐标：?y?rsin?sin?，　　dv?rd??rsin??d??dr?rsin?drd?d??z?rcos??2?????F(r,?,z)rdrd?dz,?r(?,?)2????f(x,y,z)dxdydz?1M????F(r,?,?)rsin?drd?d??1M2?d??d??F(r,?,?)r000sin?drM?x?22重心：x?转动惯量：????x?dv,　　y?????y?dv,　　z?1M2????z?dv，　　其中?????dvIx?????(y?z)?dv，　　Iy?22????(x?z)?dv，　　Iz?2????(x?y)?dv曲线积分：

第二类曲线积分（对坐设L的参数方程为标的曲线积分）：?x??(t)，则：??y??(t)??P(x,y)dx?Q(x,y)dy??{P[?(t),?(t)]??(t)?Q[?(t),?(t)]??(t)}dtL?两类曲线积分之间的关L上积分起止点处切向量格林公式：??(D系：?Pdx?Qdy?L?(Pcos?L?Qcos?)ds，其中?和?分别为的方向角。)dxdy??Q?x??P?y?Pdx?Qdy格林公式：??(LD?Q?x??P?y)dxdy?12?PdxL?Qdy?Q?P当P??y,Q?x，即：??2时，得到D的面积：A??x?y·平面上曲线积分与路径1、G是一个单连通区域；2、P(x,y)，Q(x,y)在G内具有一阶连续偏导数减去对此奇点的积分，·二元函数的全微分求积在?Q?x＝?P?y注意方向相反！：，且?Q?x无关的条件：??Ddxdy??xdyL?ydx＝?P?y。注意奇点，如(0,0)，应时，Pdx?Qdy才是二元函数u(x,y)的全微分，其中：(x,y)u(x,y)??P(x,y)dx?Q(x,y)dy，通常设(x0,y0)x0?y0?0。 8

第一类曲线积分（对弧长的曲线积分）：?x??(t)设f(x,y)在L上连续，L的参数方程为：?,　　(??t??),则：?y??(t)?

?Lf(x,y)ds????x?t22f[?(t),?(t)]??(t)???(t)dt　　(???)　　特殊情况：??y??(t)曲面积分： 对面积的曲面积分：对坐标的曲面积分：????f(x,y,z)ds???Dxyf[x,y,z(x,y)]1?zx(x,y)?zy(x,y)dxdy22??P(x,y,z)dydzDxy?Q(x,y,z)dzdx?R(x,y,z)dxdy，其中：号；号；号。?Qcos??Rcos?)ds??R(x,y,z)dxdy?????R[x,y,z(x,y)]dxdy，取曲面的上侧时取正????P[x(y,z),y,z]dydz，取曲面的前侧时取正Dyz??P(x,y,z)dydz???Q(x,y,z)dzdx?????Q[x,y(z,x),z]dzdx，取曲面的右侧时取正Dzx两类曲面积分之间的关系：??Pdydz?Qdzdx?Rdxdy????(Pcos??高斯公式：

????(?P?x??Q?y??R?z)dv???Pdydz??Qdzdx?Rdxdy???(Pcos???Qcos??Rcos?)ds高斯公式的物理意义——通量与散度：?div??0,则为消失...??P?Q?R散度：div????,即：单位体积内所产生的流体质量，若?x?y?z??通量：??A?nds???Ands???(Pcos??Qcos??Rcos?)ds，???因此，高斯公式又可写

成：?????divAdv????Ands9

斯托克斯公式——曲线积分与曲面积分的关系：

???(?R?y??Q?z)dydz?(?P?z??R?x)dzdx?(dzdx??yQ?Q?x??P?y)dxdy?cos???xP?Pdx??Qdy?Rdzcos???zR上式左端又可写成：???dydz??xPdxdy??zR?R?y?????cos???yQ空间曲线积分与路径无i??xPj??yQ关的条件：k??zR?Q?P?R?Q?P，　?，　??z?z?x?x?y

?旋度：rotA??向量场A沿有向闭曲线?的环流量：?Pdx?Qdy?Rdz??????A?tds常数项级数：

等比数列：1?q?q???q等差数列：1?2?3???n?调和级数：1?12?13???1n2n?1?1?qn1?q(n?1)n2

是发散的级数审敛法： 1、正项级数的审敛法——根植审敛法（柯西判别法）：设：??limnn?????1时，级数收敛?un，则???1时，级数发散???1时，不确定?2、比值审敛法：???1时，级数收敛Un?1?设：??lim，则???1时，级数发散n??Un???1时，不确定?3、定义法：sn?u1?u2???un;limsn存在，则收敛；否则发n??

散。交错级数u1?u2?u3?u4??(或?u1?u2?u3??,un?0)的审敛法如果交错级数满足??un?un?1，那么级数收敛且其和?limu?0??n??n——莱布尼兹定理：s?u1,其余项rn的绝对值rn?un?1。

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