陕西省西安市西北工业大学附属中学2013年高三第十二次适应性训练(2)

被抽取的3人中的优秀人数为?，若每次抽取的结果是相互独立的，求?的分布列及数学期望E?．

20．(本小题满分13分)已知函数f(x)?ax2?1（a?0），g(x)?x3?bx．

（Ⅰ）若曲线y?g(x)与y?g(x)在它们的交点(1,c)处具有公共切线，求a,b,c的值； （Ⅱ）当a2?b?0时，求函数f(x)?g(x)在区间???,?1?上的最大值．

21．(本小题满分14分)已知椭圆C的中心在坐标原点，焦点在x轴上，其左、右焦点分别为F1、F2，短轴长为23，点P在椭圆C上，且满足?PF1F2的周长为6．

（Ⅰ）求椭圆C的方程；；

（Ⅱ）设过点??1,0?的直线与椭圆相交于A、B两点，试问在x轴上是否存在一个定点M????????使MA?MB恒为定值？若存在求出该定值及点M的坐标，若不存在请说明理由．

2013年普通高等学校招生全国统一考试西工大附中第十二次适应性训练

数 学（理科）

第Ⅰ卷 选择题（共50分）

一、选择题：

1．C 2．A 3．A 4．C 5．D 6．D 7．B 8．A 9．A 10．C

三、解答题：11．10.9 12．?4 13．72 14．123 15．A．36 B．三、解答题：

16．解：（Ⅰ）依题意：2Sn?an2?an得 2Sn?1?an?12?an?1，2a1?a12?a1

5 C．y?x?2 2?2an?1?an?12?an2?an?1?an，a1?1 即an?12?an2?an?1?an?0

所以?an?1?an???an?1?an?1??0 3分

?an?0 ?an?1?an?1 所以 an?n 6分 （Ⅱ）?Sn?n?n?1?111?? ?bn? 9分

2n?n?1?nn?1 第6页

111111n?1??所以 Tn?1??????? 12分 223nn?1n?1n?1???????????17.解：（Ⅰ）?m?n ?m?n?0

B??即 2sinB??2sin2?1??3cos2B?0 所以2sinB?cosB?3cos2B?0

2?????? sin2B?3cos2B?0 则2sin?2B???0

3?????即sin?2B???0 3分

3???0?B??2 ??3?2B??3?4??? 则2B???，所以B? 6分 333（Ⅱ）?a2?c2?2ac?cosB?b2 ?a2?c2?ac?16

?ac?16 所以 S?ABC?11acsinB?3ac?43 24所以(S?abc)max?43 12分 18.解：（Ⅰ）分别取A?C?,A?A的中点P,Q，再连结MQ,NP,PQ，则有

PN//1111A?B?,PN?A?B?，MQ//A?B?,MQ?A?B?，所以PN//MQ,PN?MQ 2222则四边形MNPQ为平行四边形，所以MN//PQ,则MN∥平面A?ACC? 4分

（Ⅱ）分别以AB,AC,AA?所在直线为x,y,z轴，建立空间直角坐标系（如图）

???????????????????,0设AA??2，则AM,?1,?MN?0,?,1?,?CM?,?2??,1??????向量n1??1,?1,??，平面MNC的一个法向量n2??3,1,???，

?，所以平面A?MN的一个法

因为二面角A??MN?CA为直二面角，所以n1?n2?0，则有??2 12分 19.解：（Ⅰ）

甲班 乙班 合计 优秀 非优秀 20 90 40 60 60 150 总计 110 100 210 ??????2?12.2所以按照99%的可靠性要求，能够判断成绩与班级有关 6分

第7页

?2??2?（Ⅱ）??B?3,?,且P???k??C3k???7??7?k?5?????7?3?k,?k?0,1,2,3?,?的分布列为 2 60 343? P 0 125 3431 150 3433 8 343E??3?26? 12分 77?2a?3?b?a?3??20.解：（Ⅰ）?f??x??2ax,g??x??3x2?b ??a?1?c ??b?3

?b?1?c?c?4??4分

（Ⅱ）令h?x??f?x??g?x??x3?ax2?bx?1

a???h??x??3x2?2ax?b?3x2?2ax?a2?3?x???x?a?

3??a??a???a?0 ?h?x?在???,?a?，?,???上单调递增，在??a,?上单调递减

3??3??又?x??1

?（1）当?a??1即a?1时，h?x?max?h??a??a3?a3?ba?1?a3?1 （2）当?a??1即0?a?1时，h?x?max?h??1???1?a?b?1?a2?a

13分

?2b?23?a2?4?x2y2?1 21.解：（Ⅰ）??2a?2c?6 ??2 所以椭圆的方程为?43?b?3?a2?b2?c2? 4分

（Ⅱ）假设存在这样的定点M?x0,0?，设A?x1,y1?,B?x2,y2?，AB直线方程为x?my?1

????????则MA?MB??x1?x0,y1???x2?x0,y2???my1?1?x0,y1???my2?1?x0,y2?

=?m2?1?y1y2?m?1?x0??y1?y2???1?x0?

2?x?my?1联立?2 消去x得?3m2?4?y2?6my?9?0 2?3x?4y?12 第8页

y1?y2?6m?9,yy? 123m2?43m2?4??????????5?2x0??3m2?4??11?8x011?8x02 MA?MB??x?4?0223m?43m?4????????11135令11?8x0?0 即x0?? ，MA?MB??

864????????135?11?当AB?y轴时，令A??2,0?,B?2,0?,M??,0?,仍有MA?MB??

64?8?????????135?11?所以存在这样的定点M??,0?，使得MA?MB?? 13分

648??

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