陕西省西安市西北工业大学附属中学2013年高三第十二次适应性训练

陕西省西安市西北工业大学附属中学2013年高三第十二次适应性训

练数学（理）试题

第Ⅰ卷 选择题（共50分）

一、选择题：在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的（本大题共10小题，每小题5分，共50分）

1．设全集为实数集R，M?xx2?4,N??x1?x?3?,分表示的集合是( )

A．?x?2?x?1? B．?x?2?x?2?

C．?x1?x?2? D．?xx?2?

【答案】C

【 解析】易知，阴影部分表示集合：N?CRM，因为M?xx?4,N?x1?x?3，所以

??则图中阴影部

?2???N?CRM=?x1?x?2?。因此选C。

a?i为纯虚数”的（ ） a?iA.充分不必要条件 B.必要不充分条件

C.充要条件 D.既不充分又不必要条件

2．设a?R,i是虚数单位，则“a?1”是“

【答案】A

?a2?12?0?a?i??a?ia?ia2?12a?a2?1==2?2i，【 解析】若为纯虚数，则?，解得：a??1，

a?ia?i?a?i??a?i?a?1a?1?2a?0??a2?1a?i所以“a?1”是“为纯虚数”的充分不必要条件。

a?i3．已知函数f?x??2sin(?x??)(??0,??????)图像的一部分（如图所示），则?与?的

值分别为（ ）

115?2?7?4?A．,? B．1,? C．,? D．,?

106310653

【答案】A

【 解析】把点（0，-1）代入函数f?x??2sin(?x??)，得：sin???1，因为??????，所以2 第1页

?5????或，又选项C的图像如图所示：

66

4．直线(a?1)x?(a?1)y?2a?（0a?R）与圆

x?y?2x?2y?7?0的位置关系是（ ）

A．相切 B．相离 C．相交 D．不确定

【答案】C

【 解析】圆x?y?2x?2y?7?0的圆心为A（1，-1），

2222Input x If x?1 Then y?2x?1 Else y?x?x End If Print y 2半径为3，直

线(a?1)x?(a?1)y?2a?0可以x?y?a(x?y?2)?0且恒过定点B(1,1)转

，

化为

又

AB??1?1????1?1?22?2?r?3，即点B（1,1）在圆内，所以直线(a?1)x?(a?1)y?2a?0（a?R）与圆x2?y2?2x?2y?7?0的位置关系是相交。

5．如果执行右面的算法语句输出结果是2，则输入的x值是( ) A．0 B．?1或2 C．2 D．0或2

【答案】D

【 解析】若2x?1?2,则x?0；若x2?x?2,则x?2或x??1(舍)，所以输入的x值是0或2。

6．若?ABC的内角A、B、C满足sinA:sinB:sinC?2:3:4，则cosB=（ ）

31115315A． B． C． D．

416416【答案】D

【 解析】因为sinA:sinB:sinC?2:3:4，所以a:b:c?2:3:4，不妨设a?2k,b?3k,c?4k，

a2?c2?b24k2?16k2?9k211??。 所以由余弦定理得：cosB?22ac16k16?????????7．已知向量a,b满足a?3,b?23，且a?a?b，则b在a方向上的投影为（ ）

??A．3 B．?3. C．?【答案】B

3333 D． 22???????????2????a?b3【 解析】因为a?a?b，所以a?a?b?a?a?b?0,即a?b=-9，所以cosa,b?????，2a?b???? 第2页

?????3所以b在a方向上的投影为bcosa,b???23??3。

28．某几何体的主视图与俯视图如图，主视图同，且图中的四边形都是边长为2的正方形，两条直，则该几何体的体积为（ ）

204A． B． C．6 D．4

33【答案】A

与左视图相

虚线互相垂

【 解析】由三视图知，原几何体为一个正方体挖掉一个正四棱锥，其中正方体的棱为2，正四棱柱的底面边长为正方体的上底面，高为1，所以原几何体的体积为V?2?2?2??2?2?1?9．为了得到函数y?log21A．纵坐标缩短为原来的，横坐标不变，再向右平移1个单位

21B．纵坐标缩短为原来的，横坐标不变，再向左平移1个单位

2C．横坐标伸长为原来的2倍，纵坐标不变，再向左平移1个单位 D．横坐标伸长为原来的2倍，纵坐标不变，再向右平移1个单位

【答案】A

120。

33x?1的图像，可将函数y?log2x的图像上所有的点的（ ）

1，横坐标不变，得到函211数y?log2x的图像，再把图像上的点向右平移1个单位，得到函数y?log2?x?1?的图像，

22【 解析】把函数y?log2x的图像上所有的点的纵坐标缩短为原来的

即函数y?log2?x?1??log2x?1的图像。

???3?a?x?2(x?2)10．已知函数f?x???，（a?0，且a?1），若数列?an?满足

2x2?9x?11(x?2)??aan?f?n??N?,?n?，且?an?是递增数列，则实数a的取值范围是（ ）

?8?A．?0,1? B．?,3? C．?2,3? D．?1,3?

?3?【答案】C

12?3?a?0?【 解析】因为?an?是递增数列，所以?a?1,解得2

?3?a?2?2?a2????2,3?。

第Ⅱ卷 非选择题（共100分）

二．填空题：本大题共5小题，每小题5分，共25分．将答案填写在题中的横线上．

11．某商场在销售过程中投入的销售成本x与销售额y的统计数据如下表： 销售成本x(万元) 销售额y（万元）

3 25 4 34 第3页

6 49 7 56 根据上表可得，该数据符合线性回归方程：y?bx?9．由此预测销售额为100万元时，投入的销售成本大约为 ；

【答案】10.9

3?4?6?725?34?49?56?5,y??41，把点（5,41）代入线性回归方程：44y?bx?9，得b=10，所以y?10x?9，所以当y=100，x=10.9，所以预测销售额为100万元时，投入的销售成本大约为10.9.

【 解析】因为x?12．若函数f?x?在R上可导，f?x??x3?x2f??1?，则?f?x?dx? ______；

02【答案】?4 【

解析】因为

f?x??x3?x2f??1?，所以

2f???x?322，?x2???x1f所以

1?1?f?x?dx??x4?x3f??1????4。 ，所以f??1??3?f1?,?f??1??03?2??所以3?4?013．如果长方体ABCD?A1BC11D1的顶点都在半径为3的球的球面上，那么该长方体表面积的最大值等于_____________；

【答案】72

【 解析】设长方体ABCD?A1BC11D1同一顶点的三条棱的长分别为a,b,c，因为长方体外接球的

直径为长方体的体对角线，所以a2?b2?c2?36，又长方体的表面积为S?2?ab?a?c?b2?a?2?b7，当且仅当c2?a=b=c时取等号。 ?c22?14．观察各式：a?b?1,a2?b2?3,a3?b3?4,a4?b4?7,a5?b5?11,?，则依次类推可得

a10?b10? ；

【答案】123

【 解析】观察各式得出规律：第n个式子右边的数an是第n-1个和第n-2个式子右边的数的和，所以

a?b?1,a2?b2?3,a3?b3?4,a4?b4?7,a5?b5?11,a6?b6?18,a7?b7?29，

a8?b8?47,a9?b9?76,a10?b10?123。

15．（考生注意：请在下列三题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题评阅记分）

416A．（选修4—5不等式选讲）若x、y为正整数，且满足??1，则x?y的最小值为

xy_________；

【答案】36

【 解析】x?y=?x?y???416?16x4y16x4y??=20+??20?2??36，当且仅当xyyxyx??6y4?1x??yx?x?12?时等号成立。 时，即???y?24?4?16?1??xy

第4页

B．(几何证明选做题)如图，AB是半圆O的直径，点C在半圆上，CD?AB，垂足为D，且AD?5DB，设?COD??，则tan?的值为 _________；

【答案】5 22C?m，m，又O3所以

【 解析】设圆的半径为r，因为AD?5DB，所以OD?CD?OC2?OD2?5CD5。 m，所以tan???3OD2C．(坐标系与参数方程选做题)圆O1和圆O2的极坐标方程分别为??4cos?,???4sin?，

则经过两圆圆心的直线的直角坐标方程为_________．

【答案】y?x?2

【 解析】把圆O1和圆O2的极坐标方程

??4cos?,???4si?n化为直角坐标方程为：

?x?2?2?y2?4和x2??y?2??4，所以两圆心坐标为（2,0），和（0，-2），所以经过两圆圆心的直

2线的直角坐标方程为y?x?2。

三、解答题：本大题共6小题，共75分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 16．(本小题满分12分) 已知数列?an?的各项都是正数，前n项和是Sn，且点?an,2Sn?在函数y?x2?x的图像上．

（Ⅰ）求数列?an?的通项公式； （Ⅱ）设bn?

17．(本小题满分12分)已知锐角?ABC中的内角A,B,C的对边分别为a,b,c，定义向量

????????2Bm?2sinB,3,n??2cos?1,cos2B?，且m?n．

2??（Ⅰ）求角B的值； （Ⅱ）如果b?4，求?ABC的面积的最大值．

18．(本小题满分12分)如图，直三棱柱ABC?A?B?C?，

A?B和B?C?的中?BAC?90?，AB?AC??AA?,点M，N分别为

点．

(Ⅰ)证明：MN∥平面A?ACC?；

?的值． (Ⅱ)若二面角A??MN?CA为直二面角，求

19．(本小题满分12分)有甲、乙两个班级进行数学考试，按照大于或等于85分为优秀，85分以下为非优秀统计成绩后，得到如下的2?2列联表：已知从全部210人中随机抽取1人

2为优秀的概率为． 优秀 非优秀 总计 7 甲班 20 （Ⅰ）请完成上面的2?2列联表，并判断若按99%的可靠性

60 乙班 要求，能否认为“成绩与班级有关”；

210 合计 （Ⅱ）从全部210人中有放回抽取3次，每次抽取1人，记

1,Tn?b1?b2???bn，求Tn． 2Sn?? 第5页

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