热学答案第二版（完整版）解析-李椿-章立源等著(1)(8)

erf(x)?2??x0exp(?x2)dx

?N21?[erf(x2)?erf(x1)N2 1?[0.8468?0.8427]?0.21%2（3）令x?vx，由麦氏速度分布律得： vp22vx?v2y?vz?dN31?3?vpeN??v2p?dvxdvydvz

23x1?x1?N313x2?x2?()[?edx??edx]00N?

?N23?()?(0.002)3?0.8?10?8N2

3-8根据麦克斯韦速率分布函数，计算足够多的点，以dN/dv为纵坐标，v为横坐标，作1摩尔氧气在100K和400K时的分子速率分布曲线。 解：由麦氏速率分布律得：

?v2dNm22KT?4?N()ev2 dv2?KT3m将π=3.14，N=NA=6.02×1023T=100K m=32×10-3代入上式得到常数：

mmA=4?NA( )2e B?2KT2?KT3∴

2dN?Ae?BV?V2 （1） dv为了避免麻烦和突出分析问题方法，我们只做如下讨论：

由麦氏速率分布律我们知道，单位速率区间分布的分子数随速率的变化，必然在最可几速率处取极大值，极大值为：

dN?BV2?Ae?V2则 令y?dv22dy?A[e?BV?2V?V2?e?BV(?2BV)]?0 dv得V?VP?1 B又在V=0时，y=0，V→∞时，y→0 又VP1?1?B12KT1 VP2?m1?B22KT2 m∵T1=100K＜T2=400K ∴VP1＜VP2 由此作出草图

13-9根据麦克斯韦速率分布律，求速率倒数的平均值。

v?11??f(V)dv0vVm2??2KT?4?()?eVdV02?KT??m2KTm解：?4?()(?)??e2KTV2?d(?V2)

02?KTm2KT3m3mv2?4?(?

mKT)?(?)?e2?KTm32?mV2?2KT02m4??KT?V3-10一容器的器壁上开有一直径为0.20mm的小圆孔，容器贮有100℃的水银，

容器外被抽成真空，已知水银在此温度下的蒸汽压为0.28mmHg。 （1） 求容器内水银蒸汽分子的平均速率。 （2） 每小时有多少克水银从小孔逸出？

解：（1）

V?8RT???8?8.31?3733.14?201?10?3

?1.98?102(m/s)（2）逸出分子数就是与小孔处应相碰的分子数，所以每小时从小孔逸

出的分子数为：N?其中

1nV?s?t 4d11PV是每秒和器壁单位面积碰撞的分子数，s??()2是小孔nV??244KT1P?V?s?t，代入数据得： 4KT面积，t=3600s，故N? N=4.05×1019（个） ∴

M?mN??NA19201?10?3N??4.05?10 6.02?1023?1.35?10?2(g)

3-11如图3-11，一容器被一隔板分成两部分，其中气体的压强，分子数密度分别为p1、n1、p2、n2。两部分气体的温度相同，都等于T。摩尔质量也相同，均为μ。试证明：如隔板上有一面积为A的小孔，则每秒通过小孔的气体质量为：

M??A(P1?P2)

2?RT

证明：设p1＞p2，通过小孔的分子数相当于和面积为A的器壁碰撞的分子数。

1 从1跑到2的分子数：N1?n1V1?A?t

41 从2跑到1的分子数：N2?n2V2?A?t

4实际通过小孔的分子数：（从1转移到2）

1?N?N1?N2?At(n1V1?n2V2)

4因t=1秒，n?T1=T2=T

P，V?KT8RT??

M?m?n??P218RTPAm(1?4??KTKT)(P1?P2)∴??1?A4RT8RT??

?A(P1?P2)2?RT若P2＞P1，则M＜0，表示分子实际是从2向1转移。

3-12 有N个粒子，其速率分布函数为

dNf(v)??C(v0?v?0)

Ndvf(v)?0(v0?v)

(1)作速率分布曲线。 (2)由N和v0求常数C。 (3)求粒子的平均速率。

解：（1） f(v)?C(v0?v?0) f(v)?0(v0?v) 得速率分布曲线如图示

（2）∵?f(v)dv?1

0?∴?f(v)dv?0?cdv?1

0?v0即cv0?1 c? （3）v?1 v0121cv0?v0 22??0vf(v)dv?

3-13 N个假想的气体分子，其速率分布如图3-13所示（当v＞v0时，粒子数为零）。（1）由N和V0求a。

（2）求速率在1.5V0到2.0V0之间的分子数。

（3） 求分子的平均速率。

解：由图得分子的速率分布函数： Va (0?V?V0) V0Na (V0?V?2V0) N f(v)= 0 (V?2V0) (1) ∵dN?Nf(V)dv

N? ∴

???0Nf(V)dV??V00VadV?V0?2VV0adv1a3V02?aV0?V0a2V022N 3V0

a?(2) 速率在1.5V0到2.0V0之间的分子数

?N??2V01.5V0Nf(V)dV??2V01.5VadV0

?a(2V0?1.5V0)12NN??V0?23V03

3-14 证明：麦克斯韦速率分布函数可以写作： dN?F(x2) dx 其中x?v vp?vpx2?e?x

22KT mF(x2)?4N?证明：

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