广义逆矩阵及其应用(4)

?AB???I?n~?Ir用行和列初等变换把B中的A化简成A???0?Im??， 0??0??， 0??同时，In化成了Q，Im化成了P，即

?P0??A??0I????n??In?~Im??Q0??AP??， ?????????0??0Im??Q0??~?Ir故，PAQ?A???0?0??， ?0?于是A{1}中的矩阵可写成

?IrX?Q??X?21

二、{1,3}-逆的求解

定理3.3 设矩阵A?Cm?n，那么

X12??P。 X22??（1）若A是行满秩矩阵，则Al??A?； （2）若A是列满秩矩阵，则Al??(AHA)?1AH； （3）若rankA?r＜min{m,n}且有满秩分解A?FG，则

Al??G?Fl? 或Al??(AHA)?AH。

证明： (1)若A?Cm?n是行满秩矩阵，则rankA?m，AA??Im，有

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H(AA?)H?Im?Im?AA?，

所以，Al??A?。

(2)若A?Cm?n是列满秩矩阵，令X?(AHA)?1AH，

(AX)H?(AHA)?1AH??HAH?A(AHA)?1AH?AX，

又AXA?A(AHA)?1AHA?A， 所以，Al??(AHA)?1AH。

(3)(AG?Fl?)H?(FGG?Fl?)H?(FIrFl?)H?(FFl?)H

?FFl??FGG?Fl??AG?Fl?，

又A(G?Fl?)A?FGG?Fl?FG?FG?A，所以，Al??G?Fl?。 令X?(AHA)?AH，于是

(AX)H?[A(AHA)?AH]H?A(AHA)?AH?AX，

又AXA?A(AHA)?AHA?A，所以，Al??(AHA)?AH。 三、{1，4}-逆的求解

定理3.4 设矩阵A?Cm?n，那么

?（1）若A是行满秩矩阵，则Am?AH(AAH)?1；

?（2）若A是列满秩矩阵，则Am?A?；

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（3）若rankA?r?min{m,n}且有满秩分解A?FG,则

????Am?GmF 或 Am?AH(AAH)?。

证明： （1）令X?AH(AAH)?1,则

(XA)H?AH[AH(AAH)?1]H?AH(AAH)?1A?XA，

?又AXA?AAH(AAH)?1A?A，所以，Am?AH(AAH)?1。

（2）rankA?n，所以，A?A?In,有

H(A?A)H?In?In?A?A，

?所以，Am?A?。

??????????（3）(GmFA)H?(GmFFG)H?(GmG)H?GmG?GmFFG?GmFA

???????又AGm?GmF。 FA?FGGmFFG?FG?A，所以，Am令X?AH(AAH)?，则

(XA)H?[AH(AAH)?A]H?AH[(AAH)?]HA?AH(AAH)?A?XA，

??又AAm?AH(AAH)?。 A?AAH(AAH)?A?A，所以，Am§3.2 Moore-Penrose 广义逆

定理3.5 设矩阵A?Crm?n（r>0）的满秩分解为A?FG， 其中F?Crm?r，G?Crr?n，则

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（1）G?i?F?1??A{i},i?1,2,4； （2）G?1?F?i??A{i},i?1,2,3；

（3）G?1?F??A{1,2,3},G?F?1??A{1,2,4}； （4）A??G?F?1,3??G?1,4?F?；

（5）A??G?F??GHGGH???FF??1H?1FH?GHFHAGH???1FH。

证明： （1）F，G分别为列满秩和行满秩矩阵，F?1?F?GG?1??Ir，有

AG?1?F?1?A?FGG?1?F?1?FG?FIrIrG?FG?A， 所以，G?1?F?1??A{1}；

G?2?F?1?AG?2?F?1??G?2?F?1?FGG?2?F?1??G?2?GG?2?F?1??G?2?F?1?

所以，G?2?F?1??A{2}；

[G?4?F?1?A]H?G?4?F?1?FG所以，G?4?F?1??A{4}。

????G??G?H4H?G?4?G?G?4?F?1?FG?G?4?F?1?A

综上，G?i?F?1??A{i},?i?1,2,4?。

（2）F，G分别为列满秩和行满秩矩阵，F?1?F?GG?1??Ir，有

AG?1?F?1?A?FGG?1?F?1?FG?FIrIrG?FG?A， 所以，G?1?F?1??A{1}；

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G?1?F?2?AG?1?F?2??G?1?F?2?FGG?1?F?2??G?1?F?2?FF?2??G?1?F?2?，

G?1?F?2??A{2}；

?AG??F?????FGG??F?????FF???13H13H3H?FF?3??FGG?1?F?3??AG?1?F?3?，

所以，G?1?F?3??A{3}， 综上，G?1?F?i??A{i},?i?1,2,3?。

（3）由（2）知，G?1?F??A{1,2,3}成立；由（1）知，G?F?1??A{1,2,4}。 （4）由G?F?1??A{1,2,4}知，G?F?1,3??A{1,2,4}，又因为

?AGF?????FGGF?????FF????1,3H?1,3H1,3H?FF?1,3??FGG?F?1,3??AG?F?1,3?，

即G?F?1,3??A{3}，所以，G?F?1,3??A{1,2,3,4}， 又由A{1,2,3,4}的唯一性，A??G?F?1,3?。 同理可证明A??G?1,4?F?。 所以，A??G?F?1,3??G?1,4?F?。

（5）由（4）式A??G?F?1,3??G?1,4?F?，又G?F??G?F?1,3?，G?F??G?1,4?F?，由

A?的唯一性知A??G?F?。

由定理2.7之（4）知G??GHGGH，F??FHFFH， 而矩阵GGH和FHF可逆，显然GGH??????????GG??H?1，且FHF????FF??H?1，

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所以，A??G?F??GHGGH???FF??1H?1FH?GHFHAGH???1FH。

结 论

我们对逆矩阵进行得到广义逆矩阵的概念，不同于非奇异矩阵的逆，广义逆矩阵并不唯一，而且广义逆矩阵的种类也不唯一，我们对广义逆矩阵进行分类定义，主要研究常见及常用广义逆矩阵，探讨广义逆矩阵的性质，从而对一般矩阵进行其各种广义逆矩阵的求解，然后利用广义逆矩阵解线性方程组。

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