广义逆矩阵及其应用(2)

满秩矩阵G?Crr?n使得

A?FG，

则称上式为A的一个满秩分解。

定理2.1 对任意矩阵A?Crm?n（r＞0），必存在着矩阵F?Crm?r和G?Crr?n使

A?FG。

证明： 由rankA?r，对A进行若干次初等行变换后，可将A化为行阶梯矩阵B，

?G?B???，

?0?其中rankG?r。故存在若干个m阶初等矩阵的乘积P，使得

PA?B，

即

将P?1分块为

A?P?1B，

P?1??F,M?,F?Crm?r，M?Cm?(m?r)，

?G?A??F,M????FG。

?0?便有

因F是可逆矩阵P?1的前r列，所以F是一个m?r列满秩矩阵，G是r?n行满秩矩阵，故A?FG是A的一个满秩分解。

上式A?FG是A的一个满秩分解，但是A的满秩分解并不是唯一的。任意取一个r阶非奇异矩阵B,若A?FG是一个满秩分解，则显然A??FB??B?1G?也是A的一个满秩分解。

一、{1}-逆的性质

定理2.2 设A?Cm?n，则A的Moore-Penrose逆存在且唯一。

证 设 rankA?r.若r=0，则A是m?n零矩阵，可以验证n?m零矩阵满足四个Penrose方程。若r>0，则A有满秩分解分解A?FG,

- 4 -

取X?GHGGH???FF??1H?1FH，则X满足4个Penrose方程，所以，X是

Moore-Penrose广义逆矩阵。

设X，Y均满足四个Penrose方程，则

X?X?AX??XXHAH?XXH?AYA??XXHAHYHAH?X?AX??AY?HHHH?XAY??XA??YA?Y?AHYHY??YA?Y?YHHH

综上所诉，A?存在且唯一。

A?满足四个Penrose方程的所有方程，所以，A?属于15类广义逆矩阵中的任意一类。上面我们证明了A?的存在性，所以，任意的类广义逆矩阵都是存在的。

对任意的??C，定义??为

???1,??0 ?????00,??（2.4）

下面给出{1}-逆的一些性质。

定理2.3 设A?Cm?n，B?Cm?n，??C，则 （1）(A(1))H?AH{1}； （2）??A(1)?(?A){1}；

（3）若S和T非奇异，则T?1A(1)S?1?(SAT){1}； （4）rankA?1??rankA；

（5）AA?1?和A?1?A均为幂等矩阵且与A同秩；

（6）R(AA(1))?R(A),N(A(1)A)?N(A),R((A(1)A)H)?R(AH)； （7）A?1?A?In的充要条件是rankA?n， AA?1??Im的充要条件是rankA?m；

（8）AB?AB?A?A的充要条件是rank(AB)?rankA， B?AB?AB?B的充要条件是rank(AB)?rankB。

证 （1）由A?1??A{1}， 有AA?1?A?A， 两边同时求共轭转置得

?1??1?- 5 -

AA?1?A??H?AH， 即AH(A?1?)HAH?AH，

HH???A{1}。

（2）??A???A?????A???AA??A??A, 由{1}-逆定义得，

?? 由定义知A1?11??A?1????A?{1}。

（3）?SAT?T?1A?1?S?1?SAT??SATT?1A?1?S?1SAT?SAT, 由{1}-逆定义得，

T?1A?1?S?1??SAT?{1}。

?? （4）rankA?1??rankAA?1??rankAA?1?A?rankA, 故 rankA?1??rankA.。 （5）AA?1??AA?1?AA?1??AA?1?， 故AA?1?为幂等矩阵，又由

??????2?A??A?12?A?1?AA?1?A?A?1?A， 故A?1?A为幂等矩阵， 所以

rankA?rank(AA(1)A)?rank(AA(1))?rankA，

也即rank(AA(1))?rankA。 同理，rank(A(1)A)?rankA。

（6）由R(A)?R(AA(1))?R(AA(1)A)?R(A), 得 R(AA?1?)?R(A)， 类似的，由N(A)?N(A(1)A)?N(AA(1)A)?N(A)，得NA(1)A?N(A)。 又因为，R(AH)?R(AH(A(1))H)?R((A(1)A)H)?R(AH(A(1))HAH)?R(AH)， 所以 RA?1?A?????H??R?AA?。

H（7）充分性：rankA?n，所以，rankAA?1??n，由A?1?A为幂等矩阵且非奇异， 易知 A?1?A?In 。

必要性：由A?1?A?In，rankAA?1??n，故rankA?n。 另一式同理可证明。

????- 6 -

（8）充分性：R(AB)?R(A)，rank(AB)?rankA， 所以，R(AB)?R(A)。

所以存在矩阵X，使A?ABX，从而AB(AB)(1)A?AB(AB)(1)ABX?ABX?A。

必要性：rankA?rank[AB(AB)?1?A]?rank(ab)?rankA，故rank(AB)?rankA。 另一式同理可证明。

性质（5）逆命题仍然成立，即

定理2.4 设m?n复矩阵A，若存在n?m矩阵X， 使AX为幂等矩阵，且

rank(AX)?rankA，则矩阵X?A{1}。

证明： AX幂等，则?AX??AX??AX，而R(AX)?R(A),又rank(AX)?rankA， 所以，R(AX)?R(A)， 存在矩阵Y, 使得A?AXY，有

AXA?AXAXY?AXY?A，

即 X?A??1。

1,2?-逆的性质 二、?因为在Penrose方程（1）（2）中，A和X的位置是对称的，所以X?A{1,2}与

1,2?-逆。这与通常矩阵A的逆的逆是A本A?X{1,2}是等价的，即A和X总是互为?身是一样的。

1, 又设X?YAZ， 则 定理2.5 设矩阵Y,Z?A??X?A?1,2?。

1，则AYA?A，AZA?A， 证明：Y,Z?A??AXA?AYAZA?(AYA)ZA?AZA?A，

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XAX?YAZAYAZ?Y(AZA)YAZ?YAYAZ?YAZ?X，

由上2式得，X?A?1,2?。

定理2.6 给定矩阵A，若X?A?? 1，则X?A?1,2?的充要条件是rankX?rankA。证明： 充分性：若X?A??1，则AX?AA，且AX和XA幂等，

rank(AX)?rank(XA)?ran?kA，

又rankX?rankA，所以，rank?XA??rankA?rankX。 由定理2.3得A?X??1，所以，X?A?1,2?。 必要性：X?A??1，则rankX?rankA，

又X?A?1,2?，根据X为自反广义逆，有A?X{1}，则rankA?rankX 所以，rankA?rankX。

三、Moore-Penrose 广义逆矩阵A?

定理2.2已证明对任意矩阵A?Cm?n，Moore-Penrose 广义逆矩阵A?存在且唯一。 Moore-Penrose 广义逆矩阵是满足全部Penrose条件的广义逆矩阵，其必然有其特殊性，下面给出Moore-Penrose 广义逆矩阵A?的一些性质：

定理2.7 设矩阵A?Cm?n，则有 （1）(A?)??A； （2）(AH)??(A?)H；

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