广义逆矩阵及其应用(3)

（3）(AAH)??(AH)?A?； （4）A??AH(AAH)?； （5）rankA??rankA。 证明：

(AHA)??A?(AH)?； A??(AHA)?AH；

（1）由定义，A和A?的位置是对称的，即A?是A的Moore-Penrose 广义逆矩阵，那么A就是A?的Moore-Penrose 广义逆矩阵，又因为(A?)?唯一，所以， (A?)??A。

（2）令X?(A?)H，则有

AHXAH?AHA?XAHX?A???HAH?AA?AH???H?AH，

?H??HAHA?????AAA???A??H?X，

?AX?HH?A??H?A?H?H??HH?A?A?A?A??H?AHA??H??H?AHX，

?XA?HH?A????AH??AA??AA?????A?HAH?XAH，

根据定义，(AH)??X?(A?)H。

（3） 令X?AHHHH??A,则有

???AA?X?AA???AA??A?A?AA??A?AA?H??H?HA?AAH?AA?AA?AAH?AAH，

HXAAHX?AH??AAA?A?A??A?AA?AA???A?AAAAA??A?A,??HH??H???H????H??A?

??AA?X?HH?AAA??H??A?H???H?AA?AAAA???A?AA?A?H?H?AAAA????H?AA?AA?HH?????AA?H?H?H??AAA??A

?AAX,- 9 -

?X?AA??HH?A?AAA????A??AA?A??A?AA?A??AA??AA???A?A?A?A??A??AA?A??A?AAA?X(AA),H??HH?H?HHH???HH?H?HHH??HHH??HH???H

根据定义及Moore-Penrose 广义逆矩阵的唯一性知

(AAH)??X?(AH)?A? 。

同理可证明，(AHA)??A?(AH)?。

（4） 令X?AHAAH，则有

???AXA?AAHAAHA?AAHA?XAX?AHAAHAAHAAH???????HA?A?AA?AA?A?AA?AA?A?A，

??H?????AHAAH????X，

?AX?H?AA?H?AA???A??HH??AAHAAH????AX，

?XA?H?AHAAH??H?AHA???HA?A?AHAAH??A?XA，

?根据定义及Moore-Penrose 广义逆矩阵的唯一性知

A??X?AH(AAH)?。

同理可证明 A??(AHA)?AH。

（5）rankA?rankAA?A?rankAA??rankA?，

????rankA??rankA?AA??rankA?A?rankA，

rankA?rankA?。

????故

定理2.8 给定矩阵A?Cm?n，则有

- 10 -

A??A?1,4?AA?1,3?，

其中，A?1,3??A?1,3?，A?1,4??A?1,4?。

证明： 设X?A?1,4?AA?1,3?，则 由定理2.5知，X?A{1,2}，又因为

AX?A?1,4?AA?1,3?A?AA?1,3?， ?AX?H?AA?1,3???H?AA?1,3??AX ?A?1,4?A?XA

XA?A?1,4?AA?1,3?A?A?1,4?A， ?XA?H?A?1,4?A??H所以，X?A{1,2,3,4}。

又因为A{1,2,3,4}只有一个元素，所以，X?A?。

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第三章 广义逆矩阵的计算

广义逆矩阵在解线性方程组中有着重要作用，而利用广义逆矩阵解线性方程组首先需要求解相对应矩阵的广义逆矩阵。

§3.1 一般广义逆的求解

一、{1}-逆的求解

定理3.1 设矩阵A?Cm?n，有矩阵X?Cn?m且X?A{1}，则

A{1}?{X?Y?Im?AX???In?XA?Z|?Y,Z?Cn?m}。

（3.1）

证明： 因为对任意Y,Z?Cn?m，令M?X?Y?Im?AX???In?XA?Z，于是有

AMA?AXA?AY?Im?AX?A?A?In?XA?ZA?A?AY?A?AXA???A?AXA?ZA?A所以，M?A{1}。

，

反之，任取M?A{1}，于是有

M?M?XAX?XAMAX?X?M?X??M?X?AX?MAX?XAMAX ?X??M?X??Im?AX???In?XA?MAX，取Y?M?X，Z?MAX，则M有（3.1）式的表示。 所以，A{1}?{X?Y?Im?AX???In?XA?Z|?Y,Z?Cn?m}。 定理3.2 设矩阵A?Crm?n，存在可逆矩阵P?Cm?m和Q?Cn?n，使

?IrPAQ???0?0??， 0??- 12 -

则A{1}中的任一矩阵可写成

?IrQ??X?21X12??P ?X22?的形式，其中，X12?Cr??m?r?，X21?C?n?r??r，X22?C?n?r???m?r?，为任意矩阵。

证明： 设X?A{1}，则X是n?m矩阵，将X分块为：

?X11X???X?21X12??， X22??其中，X11?Cr?r，X12?Cr??m?r?，X21?C?n?r??r，X22?C?n?r???m?r?，则

Q?1XP?1??PAQ?{1}，因为?PAQ?Q?1XP?1?PAQ??PAQ，所以

???Ir(PAQ)(Q?1XP?1)(PAQ)???0?0??X11???0???X21X12??Ir???X22???00??X110??Ir?????????0??00???00?， ??0?所以，X11?Ir，即?PAQ?{1}中的任一矩阵可写成

?IrQ?1XP?1???X?21X12??，即A{1}中的任一个矩阵可写成 ?X22??IrX?Q??X?21X12??P， ?X22?其中X12?Cr??m?r?，X21?C?n?r??r，X22?C?n?r???m?r?，为任意矩阵。

由定理3.2知，要想计算出一个矩阵A的{1}-逆，必须首先求出可逆矩阵P和Q，使PAQ成为标准形，所以可先构造分块矩阵

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