[浩瀚题库]2012年高考数学模拟压轴题系列训练(4)

2n1?C1p?1(p?1)nna1?Cna2???Cnan∴f(n)?， ??2nSnp2n(pn?1) （5分）

p?1(p?1)n?1． ?f(n?1)?p2n?1(pn?1?1)p?1(p?1)n?1p?1而，且p?1， ?f(n)?p2n?1(pn?1?p)2p∴pn?1?1?pn?1?p?0，p?1?0． ∴f(n?1)?p?1（n?N*）． f(n)，

2p （8分）

(3) 由(2)知 f(1)?p?1p?1，f(n?1)?（n?N*）． f(n)，2p2pp?1p?12p?1n?1p?1nf(n?1)?()f(n?2)???()f(1)?()． 2p2p2p2p22n?1∴当n…2时，f(n)??p?1?p?1?p?1??????∴f(1)?f(2)???f(2n?1)????2p?2p??2p?2n?1p?1??p?1????1????， p?1?2p?????

（10分）

（当且仅当n?1时取等号）．

另一方面，当n…2，k?1,2,?,2n?1时， p?1?(p?1)k(p?1)2n?k?f(k)?f(2n?k)????

p?2k(pk?1)22n?k(p2n?k?1)?p?1(p?1)k(p?1)2n?k…?2kk? p2(p?1)22n?k(p2n?k?1)p?12(p?1)n??p2np?12(p?1)n??p2n1

(pk?1)(p2n?k?1)1．

p2n?pk?p2n?k?1∵pk?p2n?k…2pn，∴p2n?pk?p2n?k?1?p2n?2pn?1?(pn?1)2．

p?12(p?1)n∴f(k)?f(2n?k)…（当且仅当k?n时取等号）．（13分） ??2f(n)，

p2n(pn?1)∴?k?12n?12n?112n?1（当且仅当n?1时取等号）． f(k)??[f(k)?f(2n?k)]…?f(n)?(2n?1)f(n)．

2k?1k?12n?1k?12n?1p?1??p?1???1??（n?N*）．（14分） ??，p?1?2p?????综上所述，(2n?1)f(n)剟?f(k)

2009年高考数学压轴题系列训练含答案及解析详解三

1．（本小题满分13分）

x2y2 如图，已知双曲线C：2?2?1(a?0，b?0)的右准线l1ab条渐近线l2交于点M，F是双曲线C的右焦点，O为坐标原点.

与一

?? （I）求证：OM?MF；

?|MF|?1且双曲线C的离心率e? （II）若

程；

（III）在（II）的条件下，直线l3过点A（0，1）与双曲线C右支交于不同的两点P、Q且P在A、Q之间，

6，求双曲线C2的方

??满足AP??AQ，试判断?的范围，并用代数方法给出证明.

a2b解：（I）?右准线l1：x?，渐近线l2：y?x

ca?a2aba2ab222 ?M(，)，?F(c，0)，c?a?b，?OM?(，)

cccc?a2abb2ab MF?(c?，?)?(，?)

cccc??a2b2a2b2?2?0 ?OM?MF?c2c （II）?e????OM?MF

……3分

6b2，??e2?1?，?a2?2b2 2a2?b4a2b2b2(b2?a2)?|MF|?1，?2?2?1，??12 ccc?b2?1，a2?1x2?双曲线C的方程为：?y2?1

2 （III）由题意可得0???1

……7分 ……8分

证明：设l3：y?kx?1，点P(x1，y1)，Q(x2，y2)

?x2?2y2?222 由?得(1?2k)x?4kx?4?0

?y?kx?1 ?l3与双曲线C右支交于不同的两点P、Q

?1?2k2?0?22???16k?16(1?2k)?0? ??x?x?4k?0121?2k2??4?0?x1x2??21?2k? ??1?k???2?k??2??2??k?1 ?k?0?2??1?2k?0……11分

2 2

?? ?AP??AQ，?(x1，y1?1)??(x2，y2?1)，得x1??x2

4k42，?x??21?2k21?2k2

(1??)216k24k22????2?222??4(1?2k)2k?12k?1?(1??)x2?2(1??)22，?0?2k?1?1，??4 ??1?k??2? ?(1??)?4?2??2?2??1?0

……13分

??的取值范围是（0，1）

2．（本小题满分13分）

已知函数f(x)??(x?0)?0?n[x?(n?1)]?f(n?1)(n?1?x?n，n?N*)，

数列{an}满足an?f(n)(n?N*) （I）求数列{an}的通项公式；

（II）设x轴、直线x?a与函数y?f(x)的图象所围成的封闭图形的面积为S(a)(a?0)，求

S(n)?S(n?1)(n?N*)；

（III）在集合M?{N|N?2k，k?Z，且1000?k?1500}中，是否存在正整数N，使得不等式

an?1005?S(n)?S(n?1)对一切n?N恒成立？若存在，则这样的正整数N共有多少个？并求出满足条件的最

小的正整数N；若不存在，请说明理由.

（IV）请构造一个与{an}有关的数列{bn}，使得lim(b1?b2???bn)存在，并求出这个极限值.

n??解：（I）?n?N*

?f(n)?n[n?(n?1)]?f(n?1)?n?f(n?1) ?f(n)?f(n?1)?n

……1分

?f(1)?f(0)?1 f(2)?f(1)?2

f(3)?f(2)?3 ……

f(n)?f(n?1)?n 将这n个式子相加，得 f(n)?f(0)?1?2?3???n?n(n?1) 2?f(0)?0

n(n?1)

?f(n)?2n(n?1) ……3分 (n?N*)

2 （II）S(n)?S(n?1)为一直角梯形（n?1时为直角三角形）的面积，该梯形的两底边的长分别为

?an?f(n?1)，f(n)，高为1

?S(n)?S(n?1)?a?anf(n?1)?f(n) ?1?n?122

……6分

1n(n?1)n(n?1)n2 ?[ ?]?2222 （III）设满足条件的正整数N存在，则

n(n?1)n2n?1005???1005?n?2010

222 又M?{2000，2002，?，2008，2010，2012，?，2998} ?N?2010，2012，……，2998均满足条件 它们构成首项为2010，公差为2的等差数列.

设共有m个满足条件的正整数N，则2010?2(m?1)?2998，解得m?495 ?M中满足条件的正整数N存在，共有495个，Nmin?2010 （IV）设bn?……9分

1211?2(?) ，即bn?ann(n?1)nn?11111111?)?(?)???(?)]?2(1?) 2334nn?1n?11 显然，其极限存在，并且lim(b1?b2???bn)?lim[2?]?2 ……10分

n??n??n?1 则b1?b2???bn?2[(1?)?(n1n?n1cn?1 注：bn?（c为非零常数），bn?()，bn?q(0?|q|?1)等都能使lim(b1?b2???bn)存在.

n??2an122a2a19. （本小题满分14分）

y2x2 设双曲线2??1的两个焦点分别为F1、F2，离心率为2.

3a （I）求此双曲线的渐近线l1、l2的方程；

（II）若A、B分别为l1、l2上的点，且2|AB|?5|F1F2|，求线段AB的中点M的轨迹方程，并说明轨迹是什么曲线；

??（III）过点N(1，0)能否作出直线l，使l与双曲线交于P、Q两点，且OP·OQ?0.若存在，求出直线l的

方程；若不存在，说明理由. 解：（I）?e?2，?c?4a ?c?a?3，?a?1，c?2

2222x23?1，渐近线方程为y??x ?双曲线方程为y?332 4分

（II）设A(x1，y1)，B(x2，y2)，AB的中点Mx，y

???2|AB|?5|F1F2|?|AB|?55|F1F2|??2c?1022?(x1?x2)2?(y1?y2)2?10

33x1，y2??x2，2x?x1?x2，2y?y1?y23333?y1?y2?(x1?x2)，y1?y2?(x1?x2)33又y1???3(y1?y2)?2?3???(x1?x2)??10?3?21x23y22??1 ?3(2y)?(2x)?100，即375252 则M的轨迹是中心在原点，焦点在x轴上，长轴长为103，短轴长为 （III）假设存在满足条件的直线l

设l：y?k(x?1)，l与双曲线交于P(x1，y1)、Q(x2，y2)

103的椭圆.（9分） 3???OP·OQ?0

?x1x2?y1y2?0?x1x2?k(x1?1)(x2?1)?0?x1x2?k2?x1x2?(x1?x2)?1??0(i)2

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