[浩瀚题库]2012年高考数学模拟压轴题系列训练(2)

∴Tn?T2?3?∴Sm?175?.………………(12分) b152751752384,即(3m?1)?,∴m??6, ∴m的最大值为6. ……………(14分) 5212523939225．（12分）E、F是椭圆x?2y?4的左、右焦点，l是椭圆的右准线，点P?l，过点E的直线交椭圆于A、

B两点.

（1） 当AE?AF时，求?AEF的面积； （2） 当AB?3时，求AF?BF的大小； （3） 求?EPF的最大值.

yAPM?m?n?41?S?mn?2 解：（1）?2?AEF2m?n?82?（2）因?BEOFx??AE?AF?4?AB?AF?BF?8，

??BE?BF?4则AF?BF?5.

（1） 设P(22,t)(t?0) tan?EPF?tan(?EPM??FPM)

?(32232?222t223?)?(1?)???， 22?1tttt?6t?6t33??EPF?30? 3当t?6时，tan?EPF?22Sn16．（14分）已知数列?an?中，a1?，当n?2时，其前n项和Sn满足an?，

2Sn?13（2） 求Sn的表达式及liman的值；

n??S2n（3） 求数列?an?的通项公式； （4） 设bn?1(2n?1)3?1(2n?1)3，求证：当n?N且n?2时，an?bn.

22Sn11?Sn?1?Sn?2SnSn?1???2(n?2) 解：（1）an?Sn?Sn?1?2Sn?1SnSn?1所以??1?1. ?是等差数列.则Sn?2n?1?Sn?liman22?lim???2.

n??S2n??2S?12limS?1nnnn??（2）当n?2时，an?Sn?Sn?1?11?2， ??22n?12n?14n?1?1?n?1???3综上，an??.

?2?n?2??1?4n2?（3）令a?111，当n?2时，有0?b?a? （1） ,b?2n?12n?131?2n?11?1?2n?11.

法1：等价于求证

?2n?1?3?2n?1?3当n?2时，0?111?,令f?x??x2?x3,0?x?, 2n?1333313x)?2x(1??)?2x(1?)?0， 2223f??x??2x?3x2?2x(1?则f?x?在(0,1]递增. 3又0?111， ??2n?12n?1311)?g(),即an?bn.

332n?12n?11111??(?)?b2?a2?(b3?a3) 2n?12n?1(2n?1)3(2n?1)3所以g(法（2）an?bn??(a?b)(a2?b2?ab?a?b) （2）

?(a?b)[(a2?因b?ababba?a)?(b2??b)] ?(a?b)[a(a??1)?b(b??1)] （3） 2222ab3a33ba?1?a??1??1??1??1?0，所以a(a??1)?b(b??1)?0 22222223由（1）（3）（4）知an?bn.

法3：令g?b??a?b?ab?a?b，则g??b??2b?a?1?0?b?221?a 2所以g?b??maxg?0?,g?a??maxa?a,3a?2a

22????因0?a?2141?)?0 ,则a2?a?a?a?1??0，3a2?2a?3a(a?)?3a(339322所以g?b??a?b?ab?a?b?0 （5）

由（1）（2）（5）知an?bn 7． (本小题满分14分)

x2y2设双曲线2?2=1( a > 0, b > 0 )的右顶点为A，P是

ab双曲线上异于顶点的一个动点，从A引双曲线的两条渐近线的平行线与直线OP分别交于Q和R两点.

(1) 证明：无论P点在什么位置，总有|OP|2 = |OQ·OR| ( O为坐标原点)；

(2) 若以OP为边长的正方形面积等于双曲线实、虚轴围成的矩形面积，求双曲线离心率的取值范围；

????????b(x – a ), a??????ab?kababkab 解得：OR= (,), 同理可得OQ= (,),

ak?bak?bak?bak?b解：(1) 设OP：y = k x, 又条件可设AR: y =

a2b2(1?k2)?abab?kabkab∴|OQ·OR| =|+| =22. 4分 2ak?bak?bak?bak?b|ak?b|????? 设OP = ( m, n ) , 则由双曲线方程与OP方程联立解得:

???a2b2k2a2b22

m =2, n = 2,

b?a2k2b?a2k22

a2b2(1?k2)a2b2k2a2b2∴ |OP| = :m + n = 2+ 2=2 , 222222b?akb?akb?ak???222

∵点P在双曲线上，∴b2 – a2k2 > 0 .

∴无论P点在什么位置，总有|OP| = |OQ·OR| . 4分 （2）由条件得：

???2

?????a2b2(1?k2)b?ak222= 4ab, 2分

4b2?ab即k = > 0 , ∴ 4b > a, 得e >

ab?4a22

17 2分 4

2009年高考数学压轴题系列训练含答案及解析详解二

1. (本小题满分12分)

已知常数a > 0, n为正整数，f n ( x ) = x n – ( x + a)n ( x > 0 )是关于x的函数.

(1) 判定函数f n ( x )的单调性，并证明你的结论. (2) 对任意n ? a , 证明f `n + 1 ( n + 1 ) < ( n + 1 )fn`(n) 解: (1) fn `( x ) = nx n – 1 – n ( x + a)n – 1 = n [x n – 1 – ( x + a)n – 1 ] ,

∵a > 0 , x > 0, ∴ fn `( x ) < 0 , ∴ f n ( x )在（0，+∞）单调递减. 4分 （2）由上知：当x > a>0时, fn ( x ) = xn – ( x + a)n是关于x的减函数,

∴ 当n ? a时, 有：(n + 1 )n– ( n + 1 + a)n ? n n – ( n + a)n. 2分

又 ∴f `n + 1 (x ) = ( n + 1 ) [xn –( x+ a )n ] ,

∴f `n + 1 ( n + 1 ) = ( n + 1 ) [(n + 1 )n –( n + 1 + a )n ] < ( n + 1 )[ nn – ( n + a)n] = ( n + 1 )[ nn – ( n + a )( n + a)n – 1 ] 2分

( n + 1 )fn`(n) = ( n + 1 )n[n n – 1 – ( n + a)n – 1 ] = ( n + 1 )[n n – n( n + a)n – 1 ], 2分 ∵( n + a ) > n ,

∴f `n + 1 ( n + 1 ) < ( n + 1 )fn`(n) . 2分 2. (本小题满分12分)

已知：y = f (x) 定义域为［–1，1］，且满足：f (–1) = f (1) = 0 ，对任意u ,v?[–1，1］，都有|f (u) – f (v) | ≤ | u –v | .

(1) 判断函数p ( x ) = x2 – 1 是否满足题设条件？ (2) 判断函数g(x)=??1?x,x?[?1,0]，是否满足题设条件？

?1?x,x?[0,1]解： (1) 若u ,v ? [–1，1]， |p(u) – p (v)| = | u2 – v2 |=| (u + v )(u – v) |，

取u =

31?[–1，1]，v = ?[–1，1], 425| u – v | > | u – v |， 4则 |p (u) – p (v)| = | (u + v )(u – v) | = 所以p( x)不满足题设条件. （2）分三种情况讨论：

10. 若u ,v ? [–1，0]，则|g(u) – g (v)| = |(1+u) – (1 + v)|=|u – v |，满足题设条件； 20. 若u ,v ? [0，1]， 则|g(u) – g(v)| = |(1 – u) – (1 – v)|= |v –u|，满足题设条件； 30. 若u?[–1，0]，v?[0，1]，则：

|g (u) –g(v)|=|(1 – u) – (1 + v)| = | –u – v| = |v + u | ≤| v – u| = | u –v|，满足题设条件; 40 若u?[0，1]，v?[–1，0], 同理可证满足题设条件.

综合上述得g(x)满足条件. 3. (本小题满分14分)

已知点P ( t , y )在函数f ( x ) = (1) 求证：| ac | ? 4;

x(x ? –1)的图象上，且有t2 – c2at + 4c2 = 0 ( c ? 0 ). x?1(2) 求证：在(–1，+∞）上f ( x )单调递增. (3) (仅理科做)求证：f ( | a | ) + f ( | c | ) > 1. 证：(1) ∵ t?R, t ? –1,

∴ ⊿ = (–c2a)2 – 16c2 = c4a2 – 16c2 ? 0 ， ∵ c ? 0, ∴c2a2 ? 16 , ∴| ac | ? 4. (2) 由 f ( x ) = 1 –

1, x?1x1?x211–1 + = . x2?1x1?1(x2?1)(x1?1)法1. 设–1 < x1 < x2, 则f (x2) – f ( x1) = 1–

∵ –1 < x1 < x2, ∴ x1 – x2 < 0, x1 + 1 > 0, x2 + 1 > 0 ,

∴f (x2) – f ( x1) < 0 , 即f (x2) < f ( x1) , ∴x ? 0时，f ( x )单调递增. 法2. 由f ` ( x ) =

1> 0 得x ? –1, 2(x?1) ∴x > –1时，f ( x )单调递增.

（3）（仅理科做）∵f ( x )在x > –1时单调递增，| c | ?

4 > 0 , |a|444|a| ∴f (| c | ) ? f () = =

4|a||a|?4?1|a|f ( | a | ) + f ( | c | ) =

|a|4|a|4+ > +=1. |a|?1|a|?4|a|?4|a|?4 即f ( | a | ) + f ( | c | ) > 1. 4．（本小题满分15分）

设定义在R上的函数f(x)?a0x?a1x?a2x?a3x?a4（其中ai∈R，i=0,1,2,3,4），当 x= －1时，f (x)取得极大值（1） 求f (x)的表达式；

（2） 试在函数f (x)的图象上求两点，使这两点为切点的切线互相垂直，且切点的横坐标都在区间??2,2?4322，并且函数y=f (x+1)的图象关于点（－1，0）对称． 3??上；

2n?12(1?3n)4,y?(n?N)（3） 若xn?，求证：f(x)?f(y)?. n+nn2n3n3解：（1）f(x)?13x?x.…………………………5分 3????2?2?0,0,?2,.…………10分 或????????3?3?? （2）?0,0?,?2,?

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