2012届高考总复习天津101中学精品教案：解三角形单元（教师版全

资料全免费，无限资料无限下载----------------欢迎你访问嘉兴数学教学网www.jxsxjx.com 考纲导读 解三角形

（一）正弦定理和余弦定理

掌握正弦定理、余弦定理，并能解决一些简单的三角形度量问题.(二) 应用

能够运用正弦定理、余弦定理等知识和方法解决一些与测量和几何计算有关的实际问题.知识网络 高考导航 正弦定理 正弦定理的变形形式 解三角形 余弦定理 余弦定理的变形形式 解三角形 应用举例 测量实习 正弦定理、余弦定理及利用三角公式进行恒等变形的能力．以化简、求值或判断三角形的形状为主．解三角形常常作为解题工具用于立体几何中的计算或证明．

第1课时 三角形中的有关问题

基础过关 典型例题 变式训练1：(1)?ABC的内角A、B、C的对边分别为a、b、c，若a、b、c成等比数列，且c?2a，则cosB? （ ）

A．

2213 B． C． D．

4344解：B 提示：利用余弦定理

（2）在△ABC中，由已知条件解三角形，其中有两解的是 （ ）A.b?20,A?45,C?80 C.a?14,b?16,A?45

000

B.a?30,c?28,B?600D. a?12,c?15,A?1200解：C 提示：在斜三角形中，用正弦定理求角时，若已知小角求大角，则有两解；若已知大角求小角，则只有一解

53，sinB?，则cosC的值为（ ）1351616561656A B C 或 D ?6565656565（3）在△ABC中，已知cosA?《嘉兴数学教学网》系列资料 网址： www.jxsxjx.com 邮箱： xiaowangboy@sina.com

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资料全免费，无限资料无限下载----------------欢迎你访问嘉兴数学教学网www.jxsxjx.com 解：A 提示:在△ABC中，由sinA?sinB?A?B 知角B为锐角

（4）若钝角三角形三边长为a?1、a?2、a?3，则a的取值范围是 ．

?(a?1)?(a?2)?a?3解：0?a?2 提示：由?可得222?(a?1)?(a?2)?(a?3)（5）在△ABC中，?A?600,b?1,S?ABC?3,则a?b?c= ．

sinA?sinB?sinC解：239提示：由面积公式可求得c?4，由余弦定理可求得a?133例3. 已知在△ABC中，sinA(sinB＋cosB)－sinC＝0，sinB＋cos2C＝0，求角A、B、C．解：由sinA(sinB＋cosB)－sinC＝0，得sinAsinB＋sinAcosB－sin(A＋B)＝0，所以sinB(sinA－cosA)＝0

∵B∈(0, π), ∴sinB≠0, ∴cosA＝sinA，由A∈(0, π)，知A＝＋cos2C＝0得sinB＋cos2(?－B)＝0cos＝(

3?234?3从而B＋C＝?，由sinB44－2B)＝cos[2π－(

??＋2B)]＝cos(＋2B)＝－sin2B22得sinB－sin2B＝0，亦即sinB－2sinBcosB＝0，由此各cosB＝，B＝∴A＝

?5? B＝ C＝?4123125??，C＝

123变式训练3：已知△ABC中，22（sin2A－sin2C）=（a－b）sinB，△ABC外接圆半径为2.（1）求∠C；

（2）求△ABC面积的最大值.

解：（1）由22（sin2A－sin2C）=（a－b）·sinB得22（

a24R2－

c24R22）=（a－b）

2

2

b.2R2

a2?b2?c21又∵R=2，∴a－c=ab－b.∴a+b－c=ab.∴cosC==.

2ab2又∵0°＜C＜180°，∴C=60°.

2

2

（2）S=

311absinC=×ab=23sinAsinB=23sinAsin（120°－A）222=23sinA（sin120°cosA－cos120°sinA）=3sinAcosA+3sin2A=

3333sin2A－cos2A+=3sin（2A－30°）+.

222233.2∴当2A=120°，即A=60°时，Smax=

小结归纳 《嘉兴数学教学网》系列资料 网址： www.jxsxjx.com 邮箱： xiaowangboy@sina.com

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第2课时 应用性问题

基础过关 1．三角形中的有关公式（正弦定理、余弦定理、三角形内角和定理、三角形面积公式等）；２．正弦定理和余弦定理解三角形的常见问题有：测量距离问题、测量高度问题、测量角度问题、计算面积问题、航海问题、物理问题等；３．实际问题中有关术语、名称．

（1）仰角和俯角：在目标视线和水平视线所成的角中，目标视线在水平视线上方的角叫仰角；在水平视线下方的角叫俯角

（2）方位角：指正北方向顺时针转到目标方向线水平角．

典型例题 例1．(1)某人朝正东方走xkm后，向左转1500，然后朝新方向走3km，结果它离出发点恰好

3km，那么x等于 （ ）

（A）3 （B）23 （C）3或 23 （D）3解：C 提示：利用余弦定理

（2）甲、乙两楼相距20m，从乙楼底望甲楼顶的仰角为60，从甲楼顶望乙楼顶的俯角为

0300，则甲、乙两楼的高分别是 （ ）

A 203m,403m B 103m,203m3C 10(3?2)m,203m D

153203m,m 23解：A

（3）一只汽球在2250m的高空飞行，汽球上的工件人员测得前方一座山顶上A点处的俯角为18，汽球向前飞行了2000m后，又测得A点处的俯角为82，则山的高度为（ ） A 1988m B 2096m C 3125m D 2451m 解： B

（4）已知轮船A和轮船B同时离开C岛，A向北偏东25方向，B向西偏北20方向，若A的航行速度为25 nmi/h，B的速度是A的

00003，过三小时后，A、B的距离是 ． 5解：90.8 nmi

(5) 货轮在海上以40km/h的速度由B到C航行， 航向为方位角?NBC?140，A处有灯塔， 其方位角?NBA?110，在C处观测灯塔A的

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方位角?MCA?35，由B到C需航行半小时， 则C到灯塔A的距离是

解：10(6?2)km 提示：由题意知 ?BCA?750，利用余弦定理或解直角三角形可得 变式训练1：如图，当甲船位于A处时获悉，在其正东方向相距20海里的B处有一艘渔船遇险等待营救．甲船立即前往救援，同时把消息告知在甲船的南偏西30?，相距10海里C处的乙船，试问乙船应朝北偏东多少度的方向沿直线前往B处救援（角度精确到1?）？

北

解：连接BC,由余弦定理得BC2=202+102－2×20×10×cos120°=700. 于是,BC=107.

03sin?ACBsin120? ∵, ∴sin∠ACB=, ?720107A 10 20 B

∵∠ACB<90° ∴∠ACB=41°

?C ∴乙船应朝北偏东71°方向沿直线前往B处救援.

例2. 在某海滨城市附近海面有一台风，据检测，当前台风中心位于城市O(如图)的东偏南

?(cos??2)方向300 km的海面P处，并以20 km / h的速度向西偏北45?的方向移动，10台风侵袭的范围为圆形区域，当前半径为60 km ，并以10 km / h的速度不断增加，问几小时后该城市开始受到台风的侵袭？持续多长时间？

解：设在时刻t(h)台风中心为Q,此时台风侵袭的圆形区域半径为10t+60(km) 若在时刻t城市O受到台风的侵袭,则OQ?10t?60 由余弦定理知OQ?PQ?PO?2PQ?POcos?OPQ 由于PO=300,PQ=20t

222cos?OPQ?cos??45????4 522222故OQ?20t?300?9600t??10t?60?

即t?36t?288?0 解得 12?t?24

答：12小时后该城市受到台风的侵袭，侵袭的时间将持续12小时．

变式训练2：如图所示,海岛A周围38海里内有暗礁，一艘船向正南方向航行，在B处测得岛A在船的南偏东30方向上，船航行30海里后，在C处测得岛A在船的南偏东45方向上，如果此船不改变航向，继续向南航行，有无触礁危险？ 解：由题意得，在△ABC中，BC=30，B?30，?ACB?135

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资料全免费，无限资料无限下载----------------欢迎你访问嘉兴数学教学网www.jxsxjx.com 所以 A?15，由正弦定理可知： ?0BCAC ?sinAsinB30AC0 所以， AC?60cos15?00sin15sin30000于是A到BC所在直线的距离为ACsin45?60cos15sin45?40.98?38 所以船继续向南航行无触礁危险。

例3. 如图所示，公园内有一块边长2a的等边△ABC形状的三角地， 现修成草坪，图中DE把草坪分成面积相等的两部分，D在AB上， E在AC上.

（1）设AD?x(x?a)，ED?y，求用x表示y的函数关系式； （2）如果DE是灌溉水管，为节约成本希望它最短，DE的位置 应该在哪里？如果DE是参观线路，则希望它最长，DE的 位置又在哪里？请给予证明. 解：（1）在△ABC中，D在AB上，?a?x?2a

111?S△ADE=S△ABC ?x?AEsin600?AB2?sin600

22422a ，在△ADE中，由余弦定理得： ?AE?x4a44a42222y?x?2?2a ?y?x?2?2a2(a?x?2a)

xx4a4?2a2 （2）令 x?t，则a?t?4a 则y?t?t4a4?2a2,t?[a2,4a2]， 令 f(t)?t?t4a4t2?4a4(t?2a2)(t?2a2)?则f?(t)?1?2?

tt2t2?当t?(a2,2a2) 时,f?(t)?0；当t?(2a2,4a2) 时,f?(t)?0

222 又 f(a2)?3a2,f(2a2)?2a2,f(4a2)?3a2

?当 t?2a2,即 x?2a 时,y有最小值2a，此时DE∥BC，且AD?2a

当 t?a 或 4a, 即 x?a 或 2a 时,y有最大值3a，此时DE为△ABC 的边AB或AC的中线上.

变式训练3：水渠道断面为等腰梯形，如图所示，渠道深为h，梯形面积为S，为了使渠道的渗水量达到最小，应使梯形两腰及下底之和达到最小，此时下底角?应该是多少？

22h2h， ,AB?a?sin?tan?12hSh 所以 S?(a?a? )?h?a??2tan?htan?设两腰与下底之和为l，

Sh2hS2?cos?则l?a?2CB??????h

htan?sin?hsin?解：设 CD?a，则CD?a,则CB?《嘉兴数学教学网》系列资料 网址： www.jxsxjx.com 邮箱： xiaowangboy@sina.com

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