2013年浙江省高数学竞赛试题解答

2013年浙江省高中数学竞赛试题解答

一、选择题（本大题共有10小题，每题只有一个正确答案，将正确答案的序号填入题干后的括号里，多选、不选、错选均不得分，每题5分，共50分）

1． 集合P?{xx?R,x?1?1}，Q?{xx?R,x?a?1},且P?Q??,则实数a取值范围为（ ） A. a?3 B. a??1. C. a??1或 a?3 D. ?1?a?3

答案 C P?{x0?x?2},Q?{xa?1?x?a?1},要使P?Q??，则a?1?2或a?1?0。解得a??1或 a?3。 2． 若?,??R, 则????90?是sin??sin??1的（ ） A. 充分而不必要条件 B. 必要而不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 答案 D 若??0,??90??sin??sin??1。

当????60??sin??sin??3?1，但????90?。

3． 已知等比数列{an}：a1?3,且第一项至第八项的几何平均数为9，则第三项是（ ） A. 3981 B. 3781 C. 39 D. 33 2答案 B 计算得q?37,a3?3781。

4. 已知复数z?x?yi(x,y?R,i为虚数单位），且z2?8i，则z?（ ） A.z?2?2i B. z??2?2i C. z??2?2i,或z?2?2i D. z?2?2i,或z??2?2i 答案 D

5. 已知直线AB与抛物线y2?4x交于A,B两点，M为AB的中点，C为抛物线上一个动点，????C??????min{??CA??????CB?0A?C0B?}，则下列一定成立的是（ ）

。 A. C0M?AB B. C0M?l,其中l是抛物线过C0的切线 C. C0A?C0B D. C10M?2AB 答案 B

??CA??????CB??(????CM??????AM?)?(????CM??????BM?)?????CM?2?CM?????(????AM??????BM?)?????AM??????BM? ?????CM?2?????AM?2?min{??CA??????CB?}?????CM??min?CM?l。

6. 某程序框图如下，当E?0.96时，则输出的K=（ ） A. 20 B. 22 C. 24 D. 25

,

若C0满足

开 始 K=1，S=0 S=S+1/（K(K+1)） S>=E？ 是 否 K=K+1 输出K

答案 C S?111????1?22?3k?k(?1?1??0.9?6k?1)k?12 4.7. 若三位数abc被7整除，且a,b,c成公差非零的等差数列，则这样的整数共有（ ）个。 A.4 B. 6 C. 7 D 8

答案 D 设三位数为(b?d)b(b?d)?111b?99d(0?b?9,?9?d?9,d?0),由

7(111b?99d)?7(b?d)?b?1,d??1;b?2,d??2;b?3,d??3;b?4,d?3,?4;

b?5,d?2;b?6,d?1;b?8,d??1。所以，所有的三位数为 210,420,630,147,840,357,567,987

8. 已知一个立体图形的三视图如下，则该立体的体积为（ ）。

A.33 B.339393 C. D. 224 1 1 2 正视图：上下两个正方形

侧视图 322

31 俯视图：边长为2的

答案 D 从图中可知，立体是由两个三棱柱组成。

正三角形

9. 设函数f(x)?x(x?1)2(x?2)3(x?3)4，则函数y?f(x)的极大值点为（ ）

A.x?0 B. x?1 C. x?2 D. x?3

答案 B 由图象可知x?1为函数极大值点，x?3是极小值点，x?0,2不是极值点。 10. 已知f(x),g(x),h(x)为一次函数，若对实数x满足

??1,x??1?f(x)?g(x)?h(x)??3x?2,?1?x?0，则h(x)的表达式为（ ）。

??2x?2,x?0?11A.h(x)?x? B.h(x)??x?

2211C.h(x)??x? D.h(x)?x?

22?2x?2?(?1)1??x?。 答案 C h(x)?22二、填空题（本大题共有7小题，将正确答案填入题干后 的横线上，每空7分，共49分） 11. 若tanxtany?2,sinxsiny?则x?y?_______2k??1， 3?3__________。

解答：由tanxtany?2,sinxsiny?111?cosxcosy??cos(x?y)?，所以 362x?y?2k???3。

12. 已知f(x)?x2?(k?1)x?2，若当x?0时f(x)恒大于零，则k的取值范围为______(??,22?1)_______ 。 解答 由x?(k?1)x?2?0?k?1?x?222,x??22等号在x?2取得，即 xxk?22?1。

13. 数列{nn},n?1,2,?，则数列中最大项的值为______33________。

x(1?lnx)?x?e为极大值点，所以数列最大项为第三项，其值为33。 2x214. 若x,y?R，满足2x?2x2y2?2y(x?x2)?x2?5，则x?3,y??。

3解答 把等式看成关于x的一元二次方程

2??4(y?1)2?20(2y2?2y?1)?0?(3y?2)2?0?y??,x?3。

3解答 f(x)?x?e1x1lnxx?f/(x)?1x315. 设直线l与曲线y?x?x?1有三个不同的交点A,B,C,且AB?BC?5,则直线l的方程为

_____y?2x?1____________。

?y?kx?1??3?(k?2)(k2?k?2)?0?k?2。解答 曲线关于（0,1）点对称，设直线方程为y?kx?1,A(x,y)，则?y?x?x?1?22x?(y?1)?5??所求直线方程为y?2x?1。 16. 若a?0,b?0,则min{max(a,b,11?)}?_______32_________________。 22ab

解答 max{a,b,11112?}?m?a?m,b?m,??m?m??m?32，所以 22222ababm11min{max(a,b,2?2)}?32。

ab17. 某动点在平面直角坐标系第一象限的整点上运动（含第一象限x,y轴上的整点），其运动规律为(m,n)?(m?1,n?1)或

(m,n)?(m?1,n?1)。若该动点从原点出发，经过6步运动到（6,2）点，则有__________9_________种不同的运动轨迹。

21解答 C6?C6?9.

三、解答题（本大题共有3小题，每题17分，共51分）

18. 已知抛物线y?4x，过x轴上一点K的直线与抛物线交于点P,Q, 两点。证明，存在唯一一点K，使得

21PK2?1KQ2为常数，并确定K点的坐标。

解答 设K（a,0），过K点直线方程为y?k(x?a)，交抛物线于A(x1,y1),B(x2,y2),联立方程组

?y2?4x2(ak2?2)22222?kx?2(ak?2)x?ak?0?x1?x2?,x1x2?a2?5分 ?2k?y?k(x?a)2?PK2?(x1?a)2?y12,KQ2?(x2?a)2?y2??????????????7分

a1?k211???222，????????????????????12分 22a(1?k)PKKQ令a?2?111??,K(2,0)。????????????????17分 224PKKQ22219. 设二次函数f(x)?ax?(2b?1)x?a?2(a,b?R,a?0)在[3,4]上至少有一个零点，求a?b的最小值。

2解法1 由已知得，设t为二次函数在[3,4]上的零点，则有at?(2b?1)t?a?2?0，变形

(2?t)2?[a(t2?1)?2bt]2?(a2?b2)((t2?1)2?t2)?(a2?b2)(1?t2)2，??5分

t?2211，???????????12分 )??251?t(t?2??4)2100t?252322,t?[3,4]是减函数，上述式子在t?3,a??,b??因为t?2?时取等号，故a?b的最小值为t?225501。????????????????????????17分 100于是a2?b2?(解法2 把等式看成关于a,b的直线方程:(x?1)a?2xb?x?2?0，利用直线上一点（a,b）到原点的距离大于原点到直线的距离，即a?b?222x?2(x?1)?(2x)2013222（以下同上）。

?1?x?20. 设x?N满足???x?b1,b2,?,b201是公比为3

?2014201322012是公差为x，首项a1?(x?1)x?1的等差数列； 数列.数列a1,a2,?,a201320131?x

,首项b1?(x?1)x2013的等比数列，求证：b1?a1?b2???a2012?b2013 。 x

解：首先， ai?(x?1)2x2012?1?(i?1)x2013， -----------------2分

1?xi?1bi?(x?1)x2013()?(x?1)ix2014?i。-----------------4分

x

1?xibi?1?bi?x2013()????????????????6分

x2014?i,1?i?2013。 用归纳法证明 ai?bi?x20132013

由于a1?b1?x2013?x2012?1?x2013，即i=1成立。????????8分 假设 1?i?2012成立，

1?xi)?(ai?bi) 则ai?1?bi?1?(ai?1?ai)?(bi?1?bi)?(ai?bi)?x2013?x2013(x

1?x2031?x2013?x2013()?(ai?bi)??x2013?(ai?bi)

x201312013?i?12014?(i?1)??x2013?x2013?x2013。???????14分

201320132013所以，ai?bi,i?1,2,?,2013。

归纳证明bi?1?ai,i?1,2,?,2012，首先 b2?a1?1?0，假设 1?i?2011成立， 则

1?xi?1)?x2013?(bi?1?ai)?0。????????????bi?2?ai?1?(bi?2?bi?1)?(ai?1?ai)?(bi?1?ai)?x2013(x????17分 故命题成立。

四、附加题：（本大题共有2小题，每题25分，共50分。） 21. 设a,b,c?R,ab?bc?ca?3,证明

?a5?b5?c5?a3(b2?c2)?b3(c2?a2)?c3(a2?b2)?9。

解答 原命题等价于(a?b?c)(a?b?c)?9，????????????10分

333222a2?b2?c23),???????????????????20分 又(a?b?c)?9(33332故只需要证明a?b?c?3成立。???????????????????25分

利用已知条件，这是显然的。

22. 从0,1,2，?，10中挑选若干个不同的数字填满图中每一个圆圈称为一种“填法”，若各条线段相连的两个圆圈内的数字之差的绝对值各不相同，则称这样的填法为“完美填法”。

试问：对图1和图2是否存在完美填法？若存在，请给出一种完美填法；若不存在，请说明理由。 A1 A2 6 10 A3 A4 5 A5 7 A7 222

A6 A8

解答 对图1，上述填法即为完美（答案不唯一）。????????????10分

对于图2不存在完美填法。因为图中一共有10条连线，因此各连线上两数之差的绝对值恰好为，1,2,3，??，10， ????? ?????????????????? 15分

其和s?a1?a2?a1?a3?a2?a3???a7?a8?55为奇数。?????? 20分

另一方面，图中每一个圆圈所连接的连线数都为偶数条。即每一个圆圈内德数在上述S的表达式中出现偶数次。因此S应为偶数，矛盾。???????????????25分 所以，不存在完美填法。

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