初三数学寒假辅导讲义 第1讲 三角形 提高班 教师版 - 图文(3)

点G，CH⊥BD于点H，试证明CH=EF+EG；

AAFBE图1DADFLFECB图2ECGB图3CDHGHG

⑵ 若点E在BC的延长线上，如图2，过点E作EF⊥BD于点F，EG⊥AC的延长线于点G，CH⊥BD于点H， 则EF、EG、ＣH三者之间具有怎样的数量关系，直接写出你的猜想；

⑶ 如图3，BD是正方形ABCD的对角线，L在BD上，且BL=BC， 连接CL，点E是CL上任一点， EF⊥BD于点F，EG⊥BC于点G，猜想EF、EG、BD之间具有怎样的数量关系，直接写出你的猜想；

⑷ 观察图1、图2、图3的特性，请你根据这一特性构造一个图形，使它仍然具有EF、EG、CH 这样的线段，并满足⑴或⑵的结论，写出相关题设的条件和结论． （2010房山二模） 【解析】（1）设对角线交点为O，连结OE，用面积法证明； （2）CH=EF-EG； （3）连结AC交BD于点O，由（1）的结论可知CO=EF+EG，于是BD?EF?EG；

（4）只要有等腰三角形就行，例如可以在等腰梯形中构造.

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⑴ 求证：DE?BF?EF．

⑵ 当点G为BC边中点时，试探究线段EF与GF之间的数量关系，并说明理由． ⑶ 若点G为CB延长线上一点，其余条件不变．请你在图2中画出图形，写出此时DE、BF、EF 之间的数量关系（不需要证明）．

AEFG图1DAD12BCGB图2C

【解析】（1）由△AED≌△BFA可得；

（2）EF=2GF，易证△AFB∽△BFG∽△ABG，于是BF=2FG，所以EF=2FG； （3）DE+BF=EF.

AABAFBF???2，所以AF=2BF， BGBFFG

D

实战演练

模块一 特殊三角形 课后演练

E

B图1C初三寒假·第1讲·提高班·教师版

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【演练1】 ⑴如图，等腰△ABC中，AB?AC，∠A?20?，线段AB的垂直平分

线交AB于D，交AC于E，连接BE，则∠CBE等于（ ） A．80° B． 70° C．60° D．50°

⑵ 在等腰△ABC中，AB?AC，中线BD将这个三角形的周长分别为15和 12两个部分，则这个等腰三角形的底边长为______________．

⑶ 如图，等边三角形ABC中，D、E分别为AB、BC边上的点，AD?BE，

AG? ． AE与CD交于点F，AG?CD于点G，则AF3【解析】（1）C； （2）7或11；（3） A2

【演练2】 如图，P为边长为2的正三角形中任意一点，连接PA、PB、P C，过P点分别做三边的垂线，垂足分别为D、E、F，则

FPD+PE+PF= ；阴影部分的面积为__________．

CEFGDAEB3【解析】3 ；

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模块二 全等三角形 课后演练

【演练3】 在△ABC中，AB?AC，CG?BA交BA的延长线于点

G．一等腰直角三角尺按如图1所示的位置摆放，该三角尺的直 角顶点为F，一条直角边与AC边在一条直线上，另一条直角边 恰好经过点B．

⑴ 在图1中请你通过观察、测量BF与CG的长度，猜想并写 出BF与CG满足的数量关系，然后证明你的猜想；

⑵ 当三角尺沿AC方向平移到图2所示的位置时，一条直角边仍 与AC边在同一直线上，另一条直角边交BC边于点D，过点D 作DE?BA于点E．此时请你通过观察、测量DE、DF与CG的 长度，猜想并写出DE?DF与CG之间满足的数量关系，然后 证明你的猜想；

⑶当三角尺在⑵的基础上沿AC方向继续平移到图3所示位置 （点F在线段AC上，且点F与点C不重合）时，⑵中的猜想是 否仍然成立？（不用说明理由）

【解析】⑴ BF?CG；

在?ABF和?ACG中，

?FAB??GAC，AB?AC， ∵?F??G?90?，PBDCF A G B

G F A E B D G E A F C C B D C G F A E B D 图4 C H ∴?ABF≌?ACG(AAS)， ∴BF?CG． ⑵ DE?DF?CG；

过点D作DH?CG于点H（如图4）． ∵DE?BA于点E，?G?90?，DH?CG，

∴四边形EDHG为矩形，∴DE?HG，DH∥BG，∴?GBC??HDC， CD?DC， ∵AB?AC，∴?FCD??GBC??HDC，又∵?F??DHC?90?，∴?FDC≌?HCD(AAS)，∴DF?CH．

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∴GH?CH?DE?DF?CG，即DE?DF?CG． ⑶ 仍然成立．

（注：本题还可以利用面积或三角函数来证明，比如⑵中连结AD）

【演练4】 图中是一副三角板，45?的三角板Rt△DEF的直角顶点D恰好在30?的三角板Rt△ABC斜

GM?AB ?A?30?，?E?45?，?EDF??ACB?90?，DE交AC于点G，边AB的中点处，

于M．

⑴ 如图1，当DF经过点C时，作CN?AB于N，求证：AM?DN．

⑵ 如图2，当DF∥AC时，DF交BC于H，作HN?AB于N，⑴的结论仍然成立，请 你说明理由．

FCEGGAMD图1NBAMD图2NHBECF?ACB?90?，D是AB的中点，∴BC?BD，?B?60? 【解析】⑴ ∵?A?30?，∴△BCD是等边三角形．

1又∵CN?DB，∴DN?DB，

2∵?EDF?90?，?BCD是等边三角形．

∴?ADG?30?，而?A?30?，∴GA?GD．

1∵GM?AB，∴AM?AD

2又∵AD?DB，∴AM?DN．

⑵ ∵DF∥AC，∴?BDF??A?30?，?AGD??GDH?90?，

∴?ADG?60?．

∵?B?60?，AD?DB，

∴?ADG≌?DBH，∴AG?DH，

又∵?BDF??A，GM?AB，HN?AB， ∴?AMG≌?DNH．∴AM?DN．

模块三 相似三角形 课后演练

【演练5】 如图，已知Rt△ABC，D1是斜边AB的中点，过D1作

D1E1?AC于E1，连接BE1交CD1于D2；过D2作D2E2?AC 于E2，连接BE2交CD1于D3；过D3作D3E3?AC于E3，…， 如此继续，可以依次得到点D4，D5，…，Dn，分别记△BD1E1， A△BD2E2，△BD3E3，…，△BDnEn的面积为S1，S2，S3，…Sn． 则Sn?_________S△ABC（用含n的代数式表示）．

1【解析】 2?n?1?

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第十八种品格：坚持 品格教育—坚持

有些人，做事是怕别人说失败，为不失败而坚持。有些人做事，为了成功，为了成功的目标而坚持。但是坚持的结果都是成功。因此坚持常常是成功的代名词。 想要实现自己的梦想，就要坚持就要努力，这样才可以成就梦想。 【坚持的三个层次】 一、学会以坚持不懈的态度对待事物； 二、坚持心中那份信念，成功最后即会到来； 三、坚持不懈的过程中会遇到挫折，迎难而上，也许终会柳暗花明。 孟母断机 孟子早年家境贫寒，相传孟母仉氏靠纺线织布维持生活。孟子到学馆学习了一段时间后，开始的新鲜劲头过去了，贪玩的本性难移，有时就逃学，对母亲谎称是找丢失的东西。 有一次孟子又早早地跑回了家，孟母正在织布，知道他又逃学了。孟母仉氏把孟子叫到跟前，把织了一半的布全部割断。孟子问为什么要这样，孟母回答说：“子之废学，若吾断斯织也！”，教育孟轲，学习就像织布，靠一丝一线长期的积累，只有持之以恒，坚持不懈，才能获得渊博的知识，才能成才，不可半途而废。逃学就如同断机，线断了，布就织不成了，常常逃学，必然学无所成。 孟轲从此勤学苦读，没有辜负母亲的期望，终于成了一位伟大的思想家和教育家。 今天我学到了

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