初三数学寒假辅导讲义 第1讲 三角形 提高班 教师版 - 图文

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中考第一轮复习

三角形

考试内容 中考大纲剖析

A

考试要求层次 B 会用尺规作给定条件的三角形；掌握三角形内角和定理及推论；会按要求解决三角形的边、角的计算问题；能用三角形的内心、外心的知识解决 简单问题；会证明三角形的中位线定理，并会应用三角形中位线性质解决有关问题 能用等腰三角形、等边三角形、直角三角形的性质和判定解决简单问题 会运用等腰三角形、等边三角形、直角三角形的知识解决有关问题 会运用全等三角形的知识和方法解决有关问题 C 三角形 了解三角形的有关概念；了解三角形的稳定性；会按边和角对三角形进行分类；理解三角形的内角和、外角和及三边关系；会画三角形的主要线段；知道三角形的内心、外心和重心 了解等腰三角形、等边三角形、直角三角形的概念，会识别这三种图形；理解等腰三角形、等边三角形、直角三角形的性质和判定 等腰三角形和直角三角形 全等三角形 勾股定理及其逆定理 相似三角形 了解全等三角形的概念，掌握两个三角形全等的条件和性了解相似三角形与全等三角质；会应用全等三角形的性质与判定形之间的关系 解决有关问题 已知直角三角形的两边长，会求第三边长 了解两个三角形相似的概念 会用勾股定理及其逆定理解决简单问题 会利用相似三角形的性质与判定进行简单的推理和计算；会利用三角形的相似解决一些实际问题 由某个角的一个三角函数值，会求这个角的其余两个三角函数值；会计算含有 30?，45?，60?角的三角函数式的值淘宝搜索店铺名：优能教育在 锐角三角函数 了解锐角三角函数cosA，tanA）；（sinA，45?，60?角的三知道30?，角函数值 线，小学、初中、高中全套课外辅导、补习、家教资料都有！ 会解直角三角形；能根据问题的需要添加辅助线构造直角三角形；会解由两个特殊直角三角形构成的组合图形的问题 能运用三角函数解决与直角三角形有关的简单问题 解直角三角形 知道解直角三角形的含义 能综合运用直角三角形的性质解决有关问题

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本讲结构

知识导航

一、等腰三角形

①等腰三角形的两大特性． A AEFDCBHDCFCH=DE-DF图形 aaEBHCH=DE+DF 特性 “等腰三角形中的三线合一” “底所在直线上的点到两腰的距离与腰上的高的关系”

②构造等腰三角形． “垂直平分线造等腰”

③特殊等腰三角形． “平行线加角平分线” “平行线截等腰三角形” “圆构造等腰” 图形 60°60°60° 45°30°30° 1∶∶12 1∶∶13 36°36°72°72°

1∶∶15+1 2三边之比 1∶1∶1 1∶∶15?1 2

二、直角三角形

1．直角三角形的边角关系．

①．直角三角形的两锐角互余． ②．三边满足勾股定理． ③．边角间满足锐角三角函数．

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2．特殊直角三角形

60° “等腰直角三角形” “含30?和60?的直角三角形” 45°边的比：1∶∶12

3．直角三角形中的特殊线． adcb边的比：1∶3∶2 a hcb“直角三角形斜边中线d?c” 2 ab“直角三角形斜边高h?” c

三.尺规构造等腰三角形和直角三角形 问题 等腰三角形 直角三角形 A 作图 求点坐标 “万能法” 其他方法 作等腰三角形底边的高，用BAlB分别表示出点A、B、P的 AP1P2P3P4P5l坐标，再表示出线段AB、 已知点A、B和直线l，在l上求点P，使BP、AP的长度，由①AB=AP 勾股或相②AB=BP ③BP=AP列方程解出坐标 分别表示出点A、B、P的似建立等量关系 △PAB为等腰三角形 Bl“两圆一垂” B坐标，再表示出线段AB、BP、AP的长度，由 作垂线，用勾股或相似建立等量关系 已知点A、B和直线l，在l上求点P，使lAP1P2P3P4 ①AB?BP?AP ②BP?AB?AP ③AP?AB?BP 列方程解出坐标 222222222△PAB为直角三角形 “两垂一圆” 四.全等三角形

全等三角形的性质：全等三角形的对应边相等，对应角相等． 全等三角形的判定：⑴SSS；⑵SAS；⑶ASA；⑷AAS；⑸HL．

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在证明图形的线或角关系时，通常需要将全等与图形变换（旋转、平移、轴对称等）相结合.

五.相似三角形

相似三角形的性质：

⑴ 相似三角形的对应角相等，对应边成比例，其比值称为相似比．

⑵ 相似三角形对应高的比等于相似比，周长比等于相似比，面积比等于相似比的平方． 相似三角形的判定：

⑴ 平行于三角形一边的直线，截其他两边所得的三角形与原三角形相似； ⑵ 两角对应相等，两三角形相似；

⑶ 两边对应成比例且夹角相等，两三角形相似； ⑷ 三边对应成比例，两三角形相似． 相似三角形的基本模型：

ADEEDADBCBADAAEDB(1)DAECB(3)ACCB(6)CAD(4)

AEEEBABC（10）DEBC(2)

【编写思路】由于三角形的知识点非常多，本讲只针对三角形中的重要考点来编写的，侧重于等腰三角形、直角三角形、全等三角形和相似三角形，由于相似三角形在中考中考察的分值较少，而且简单，所以本讲也只是针对相似中的重要模型进行复习，不对学生做太高要求.

另外，我们在每一讲中，针对当前考试的热点和难点，设计一种“系列探究”， 使得每一讲有一个复习亮点，为我们第一轮复习锦上添花.本讲的探究是：由“直角三角形斜边中线”引发的“几何最值问题”.

B(5)C

BC（8）DC（9）D

模块一 特殊三角形

夯实基础

B【例1】 （1）如图所示的正方形网格中，网格线的交点称为格点，已知A、B是

两格点，如果C也是图中的格点，且使得△ABC为等腰三角形，则点C的 个数是（ ） AA.6 B.7 C.8 D.9

10)，（2）在平面直角坐标系中，点A的坐标为(4，0)，点B的坐标为(4，点C在y轴上，且△ABC

是直角三角形，则满足条件的C点的坐标为 ．

（2010顺义一模）

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?B??ACB，（3）已知：如图，在△ABC中，点D在AB边上，点 E在AC边的延长线上，且BD?CE，

连接DE交BC于F．

B求证：DF?EF． （2012海淀期中）

D F AEC

（4）如图所示，在△ABC中，BC=6，E，F分别是AB，AC的中点，点P在射线EF上，BP交CE于

D，点Q在CE上且BQ平分∠CBP，设BP=y，PE=x.当CQ=

1CE2时，y与x之间的函数关系式是 .

【解析】（1）C，“两圆一垂”；

（2）（0，0），（0，10），（0，2），（0，8）.“两垂一圆”确定四个点之后，用勾股求得； （3）证明：过D点作AC的平行线交BC于点G， 则∠B=∠ACB=∠BGD；∴BD=DG=CE； 易证△DFG≌△EFC；∴DF=EF.

注：本题方法很多，还可以过D作BC平行线，或过E作AB的平行线，由“平行线截等腰三角

形”得新等腰三角形.

（4）y= –x+6； 提示：延长BQ与射线EF相交，由“平行线加角平分线”得到等腰三角形.

【例2】 （1）如图，正方形ABCD的边长为2, 将长为2的线段QF的

两端放在正方形相邻的两边上同时滑动．如果点Q从点A出发，沿 图中所示方向按A?B?C?D?A滑动到点A为止，同时点 F从点B出发，沿图中所示方向按B?C?D?A?B滑动到 点B为止，那么在这个过程中，线段QF的中点M所经过的路线围 成的图形的面积为（ ） （2010宣武一模） A. 2 B. 4－? C.? D.??1

（2）如图，在△ABC中，∠C=90°，AC=4，BC=2，点A、C分别在x 轴、

y轴上，当点A在x轴上运动时，点C随之在y轴上运动， 在运动过程中，点B到原点的最大距离是（ ） A． 22?2 B．25 C．26 D． 6

（2010西城二模）

以下探究主题为：几何最值问题

【探究1】如图，△ABC为等边三角形，边长AB=4，点A、C分别在x 轴、y

轴上，当点A在x轴上运动时，点C随之在y轴上运动，在运动过程中，

能力提升

AQMByCDCF 第8题图 BOAxyCBOAx初三寒假·第1讲·提高班·教师版

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