初三数学寒假辅导讲义 第1讲 三角形 提高班 教师版 - 图文(2)

点B到原点的最大距离是________.

【探究2】如图，在△ABC中，∠C=90°，AC=4，BC=3，点A、C分别在x 轴、

y轴上，当点A在x轴上运动时，点C随之在y轴上运动， 在运动过程中，点B到原点的最小距离是__________.

AyCOBAx【探究3】 如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，∠B=30°，CB=33， P点D是平面上一点且CD=2，点P为线段AB上一动点，当△

CBABC绕点C任意旋转时，在旋转过程中线段DP长度的最大值

为_______，最小值为_______.

D

【解析】（1）C，由“直角三角形斜边中线等于斜边的一半”可知BM、CM、CM、AM均等于FQ的一

半，于是M的轨迹围成一个半径为1的圆；

（2）A，如右图1，取AC中点D，连结OD、BD，当O、yBD、B三点共线时，OB的值最大； yC

CD探究1：2+23，方法同上，取AC中点D，连结OD、DOBD，当O、D、B三点共线时，OB的值最大；

AxOxA B探究2：如右图2，取AC中点D，连结OD、BD，当O、D、B三点共线时，OB的值最小，最小值为13?2；

淘宝搜索店铺名：优能教育在线，小学、初中、高中全套课外辅导、补习、家教资料都有！

探究3：“△ABC绕点C旋转”等价于“CD绕点C旋转”，如下图1，连结CP，当PD=PC+CD时，

PD最大，当PD =︱PC-CD︱时，PD最小. 如图2，当P与B重合，PD取最大值为33?2，如 图3，当CP⊥AB时，PD取最小值为APDCD图1图2图3BDCB(P)CB图1图233?2. 2APA

【点评】动线段最值的求法一般可总结为两种方法（仅供参考）：

（1）将动线段作为一个三角形的一边，且另两边为定值，但是形状可变化，如下左图，“外共线”值

最大，“内共线”值最小（已知AB、BP为定值，求动线段AP的最大或最小值）；

（2）如下右图，垂线段最短，端点处最大（已知点P是线段BC上的动点，求线段AP的最大或最

小值）.

初三寒假·第1讲·提高班·教师版

6

PP1BP2AB(P)1PAP2C

模块二 全等三角形

夯实基础

【例3】 △ABC与△CDE均为等边三角形，点C为公共顶点，连结AD、BE相交于点P，BE交AC

于点M，AD交CE于点N，

（1）如图1，当点B、C、D在同一直线上，请证明以下结论：

① AD=BE；

② 连结PC，则PC平分∠BPD； ③ ?APB?60?；

④ 连结MN，则△MCN为等边三角形； ⑤ PB=PA+PC，PD=PE+PC

（⑥ 连结AE，点P为△ACE的费马点. 学生版上没有） （2）如图2，当△CDE绕点C旋转任意角度时，（1）中的5个结论仍成立吗？

AAPMB图1NEMDB图2CPNECD

【解析】（1）由△ACD≌△BCE可得①；过点C分别作AD、BE边上的高，由“全等三角形面积相

等”或者通过证明“全等三角形对应边上的高相等”可得两高相等，证得②；由“八”字模型倒角证得③；由△BMC≌△ACN或者△CND≌△CME得CN=CM，证得④；由?APC??EPC?120?，在四边形ABCP和EDCP中利用旋转可证得⑤；由⑤中的结论可知PA+PC+PE=BE，?APC??EPC??APE?120?，点P到△ACE的三个顶点的距离和最小，即可证得⑥. （2）结论①②③⑤⑥均成立.

【例4】 在△ABC中，AB=AC，∠BAC=?（0????60?），将线段BC绕点B逆时针旋转60°得到

初三寒假·第1讲·提高班·教师版

能力提升

7

线段BD.

ADADEB图1CB图2C

（1）如图1，直接写出∠ABD的大小（用含?的式子表示）；

（2）如图2，∠BCE=150°，∠ABE=60°，判断△ABE的形状并加以证明；

（3）在（2）的条件下，连结DE，若∠DEC=45°，求?的值. （2013北京中考）

1【解析】（1）30???；

2淘宝搜索店铺名：优能教育在线，小学、初中、高中全套课外辅导、补习、家教资料都有！

（2）△ABE为等边三角形，连接AD、CD、EB

∵线段BC绕点B逆时针旋转60?得到线段BD 则BC?BD，?DBC?60? 又∵?ABE?60?

BADEC1∴?ABD?60???DBE??EBC?30???且△BCD为等边三角形.

2在△ABD与△ACD中

?AB?AC11??AD?AD ∴△ABD≌△ACD（SSS） ∴?BAD??CAD??BAC??

22?BD?CD?11∵?BCE?150? ∴?BEC?180??(30???)?150???

22在△ABD与△EBC中

??BEC??BAD???EBC??ABD ∴△ABD≌△EBC（AAS）∴AB?BE ∴△ABE为等边三角形 ?BC?BD?（3）∵?BCD?60?，?BCE?150?∴?DCE?150??60??90?

又∵?DEC?45? ∴△DCE为等腰直角三角形 ∴DC?CE?BC ∵?BCE?150?

(180??150?)1?15? 而?EBC?30????15? ∴??30?

22【点评】第（2）问考察的是一类由旋转形成的全等模型，如图，若?BAC??DAE ①△ABC为等腰三角形（AB=AC）； ②△ADE为等腰三角形（AD=AE）；

∴?EBC?初三寒假·第1讲·提高班·教师版

AEDBC8

③△ABD≌△ACE

以上三个命题有二推一，通常两个三角形为等边三角形. 此题欲证

△ABE为等边三角形，已知△DBC为等边三角形，则需证△ABD≌△EBC即可.

模块三 相似三角形

【例5】 （1）已知在△ABC中，BC=a.如图1，点B1 、C1分别是AB、AC的中点，则线段B1C1的长

是_______；如图2，点B1 、B2 C1 、C2分别是AB 、AC的三等分点，则线段B1C1 + B2C2的值

，

是__________；如图3, 点B1、B2、......、Cn分别是AB、AC的（n+1）等分点，......、Bn，C1、C2、则线段B1C1 + B2C2+……+ BnCn的值是 ______. AAAB1C1

B2C2B1C1B1C1B2C2Bn-1Cn-1BnCnBCBCBC

图3图1图2

M夯实基础

（2）如图，在矩形ABCD中， AB=4，BC=6，当直角三角板MPN 的

直角顶点P在BC边上移动时，直角边MP始终经过点A，设直角 三角板的另一直角边PN与CD相交于点Q．BP=x，CQ=y，那么y 与x之间的函数图象大致是（ ）

【解析】（1）

ADNQBPC11a,a,na 提示：由“A”字相似模型来求BnCn 的长； 22（2）D 提示：“三垂”相似模型；

淘宝搜索店铺名：优能教育在线，小学、初中、高中全套课外辅导、补习、家教资料都有！

【例6】 如图1，在等腰直角△ABC中，∠BAC=90°，AB=AC=2，点E是BC边上一点，∠DEF=45°

初三寒假·第1讲·提高班·教师版

能力提升

9

且角的两边分别与边AB，射线CA交于点P，Q.

（1）如图2，若点E为BC中点，将∠DEF绕着点E逆时针旋转，DE与边AB交于点P，EF与CA

的延长线交于点Q.设BP为x，CQ为y，试求y与x的函数关系式，并写出自变量x的取值范围； （2）如图3，点E在边BC上沿B到C的方向运动（不与B，C重合），且DE始终经过点A,EF与边

AC交于Q点．探究：在∠DEF运动过程中，△AEQ能否构成等腰三角形，若能，求出BE的长；若不能，请说明理由． (2012东城期末)

【解析】（1）∵ ∠BAC=90°，AB=AC=2， ∴ ∠B=∠C，BC?22．

又∵?FEB??FED??DEB??EQC??C,?DEF??C, ∴ ∠DEB=∠EQC. ∴ △BPE∽△CEQ． ∴

BPCE?． BECQ设BP为x，CQ为y， ∴

2x2． ∴ y?自变量x的取值范围是0＜x＜1． ?xy2（2）解：∵ ∠AEF=∠B=∠C,且∠AQE＞∠C,

∴ ∠AQE＞∠AEF . ∴ AE≠AQ .

当AE=EQ时，可证△ABE≌ECQ. ∴ CE=AB=2 . ∴ BE=BC-EC=22?2. 当AQ=EQ时，可知∠QAE=∠QEA=45°.

∴ AE⊥BC . ∴ 点E是BC的中点. ∴ BE=2. 综上，在∠DEF运动过程中，△AEQ能成等腰三角形，此时BE长为22?2或2.

【思维拓展训练】

提高班

训练1. 如图，直角三角形纸片ABC中，∠ACB=90°，AC=8，BC=6．折叠该

纸片使点B与点C重合，折痕与AB、BC的交点分别为D、E. （1）DE 的长为 ；（2）将折叠后的图形沿直线AE剪开，原纸片被剪成三块， 其中最小一块的面积等于 ． 【解析】4，4

训练2. ⑴如图1，已知矩形ABCD中，点E是BC上的一动点，过点E作EF⊥BD于点F，EG⊥AC于

初三寒假·第1讲·提高班·教师版

10

百度搜索“77cn”或“免费范文网”即可找到本站免费阅读全部范文。收藏本站方便下次阅读，免费范文网，提供经典小说综合文库初三数学寒假辅导讲义 第1讲 三角形 提高班 教师版 - 图文(2)在线全文阅读。