2013-2014中考数学专题复习 - - 动点型问题（含详细参考答案）(2)

速度沿B→C→D的方向向点D运动，过点P作PM垂直于x轴，与折线A→D→C相交于点M，当P，Q两点中有一点到达终点时，另一点也随之停止运动．设点P，Q运动的时间为t秒（t＞0），△MPQ的面积为S． （1）点A的坐标为 ，直线l的解析式为 ； （2）试求点Q与点M相遇前S与t的函数关系式，并写出相应的t的取值范围； （3）试求（2）中当t为何值时，S的值最大，并求出S的最大值； （4）随着P，Q两点的运动，当点M在线段DC上运动时，设PM的延长线与直线l相交于点N，试探究：当t为何值时，△QMN为等腰三角形？请直接写出t的值． 思路分析：（1）利用梯形性质确定点D的坐标，利用sin∠DAB=2特殊三角函数值，得2到△AOD为等腰直角三角形，从而得到点A的坐标；由点A、点D的坐标，利用待定系数法求出直线l的解析式； （2）解答本问，需要弄清动点的运动过程： ①当0＜t≤1时，如答图1所示； ②当1＜t≤2时，如答图2所示； ③当2＜t＜16时，如答图3所示． 7（3）本问考查二次函数与一次函数在指定区间上的极值，根据（2）中求出的S表达式与取值范围，逐一讨论计算，最终确定S的最大值； （4）△QMN为等腰三角形的情形有两种，需要分类讨论，避免漏解． 解：（1）∵C（7，4），AB∥CD， ∴D（0，4）． ∵sin∠DAB=2， 2∴∠DAB=45°， ∴OA=OD=4， ∴A（-4，0）． 设直线l的解析式为：y=kx+b，则有 ?b?4， ?-4k?b?0?解得：k=1，b=4， ∴y=x+4． 6

∴点A坐标为（-4，0），直线l的解析式为：y=x+4． （2）在点P、Q运动的过程中： ①当0＜t≤1时，如答图1所示： 过点C作CF⊥x轴于点F，则CF=4，BF=3，由勾股定理得BC=5． 过点Q作QE⊥x轴于点E，则BE=BQ?cos∠CBF=5t?∴PE=PB-BE=（14-2t）-3t=14-5t， S=3=3t． 511PM?PE=×2t×（14-5t）=-5t2+14t； 22②当1＜t≤2时，如答图2所示： 过点C、Q分别作x轴的垂线，垂足分别为F，E， 则CQ=5t-5，PE=AF-AP-EF=11-2t-（5t-5）=16-7t， S=11PM?PE=×2t×（16-7t）=-7t2+16t； 2216． 7③当点M与点Q相遇时，DM+CQ=CD=7， 即（2t-4）+（5t-5）=7，解得t=当2＜t＜16时，如答图3所示： 7 7

MQ=CD-DM-CQ=7-（2t-4）-（5t-5）=16-7t， S= 11PM?MQ=×4×（16-7t）=-14t+32． 227249）+， 557∵a=-5＜0，抛物线开口向下，对称轴为直线t=， 5（3）①当0＜t≤1时，S=-5t2+14t=-5（t-∴当0＜t≤1时，S随t的增大而增大， ∴当t=1时，S有最大值，最大值为9； 8264）+， 778∵a=-7＜0，抛物线开口向下，对称轴为直线t=， 7864∴当t=时，S有最大值，最大值为； 7716③当2＜t＜时，S=-14t+32 7②当1＜t≤2时，S=-7t2+16t=-7（t-∵k=-14＜0， ∴S随t的增大而减小． 又∵当t=2时，S=4； 当t=16时，S=0， 7864时，S有最大值，最大值为． 77∴0＜S＜4． 综上所述，当t= （4）△QMN为等腰三角形，有两种情形： ①如答图4所示，点M在线段CD上， MQ=CD-DM-CQ=7-（2t-4）-（5t-5）=16-7t，MN=DM=2t-4， 由MN=MQ，得16-7t=2t-4，解得t=20； 9 8

②如答图5所示，当点M运动到C点，同时当Q刚好运动至终点D， 此时△QMN为等腰三角形，t=故当t=12． 52012或t=时，△QMN为等腰三角形． 95点评：本题是典型的运动型综合题，难度较大，解题关键是对动点运动过程有清晰的理解．第（3）问中，考查了指定区间上的函数极值，增加了试题的难度；另外，分类讨论的思想贯穿（2）-（4）问始终，同学们需要认真理解并熟练掌握． 对应训练 5．（2013?长春）如图①，在?ABCD中，AB=13，BC=50，BC边上的高为12．点P从点B出发，沿B-A-D-A运动，沿B-A运动时的速度为每秒13个单位长度，沿A-D-A运动时的速度为每秒8个单位长度．点Q从点 B出发沿BC方向运动，速度为每秒5个单位长度．P、Q两点同时出发，当点Q到达点C时，P、Q两点同时停止运动．设点P的运动时间为t（秒）．连结PQ． （1）当点P沿A-D-A运动时，求AP的长（用含t的代数式表示）． （2）连结AQ，在点P沿B-A-D运动过程中，当点P与点B、点A不重合时，记△APQ的面积为S．求S与t之间的函数关系式． （3）过点Q作QR∥AB，交AD于点R，连结BR，如图②．在点P沿B-A-D运动过程中，当线段PQ扫过的图形（阴影部分）被线段BR分成面积相等的两部分时t的值． （4）设点C、D关于直线PQ的对称点分别为C′、D′，直接写出C′D′∥BC时t的值． 5．解：（1）当点P沿A-D运动时，AP=8（t-1）=8t-8． 当点P沿D-A运动时，AP=50×2-8（t-1）=108-8t． （2）当点P与点A重合时，BP=AB，t=1． 当点P与点D重合时，AP=AD，8t-8=50，t=当0＜t＜1时，如图①． 29． 4 9

作过点Q作QE⊥AB于点E． S1△ABQ=2AB?QE=12BQ×12， ∴QE=12BQAB?12?513=6013． ∴S=-30t2+30t． 当1＜t≤294时，如图②． S=12AP×12=12×(8t-8)×12， ∴S=48t-48； （3）当点P与点R重合时， AP=BQ，8t-8=5t，t=83． 当0＜t≤1时，如图③． ∵S△BPM=S△BQM， ∴PM=QM． ∵AB∥QR， ∴∠PBM=∠QRM，∠BPM=∠MQR， 在△BPM和△RQM中 ???PBM??QRM??BPM??MQR， ??PM?QM∴△BPM≌△RQM． ∴BP=RQ， ∵RQ=AB，

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