理论力学习题1(2)

10、质量为m1的物体A 下落时，带动质量为m2的物体B转动，不计支架和绳子的重量及轴上的摩擦，BC = a，盘B的半径为R。求固定端C的约束力。

F?CyM

? CCFCxMIBB

a

m?2gF?I A

m?1g解：以系统为研究对象，设A下落的加速度为aA，则

FI?m1aA，MIB?JB?B?12m2RaA 由达朗贝尔原理：

?Fx?0；FCx?0 （1）

?Fy?0；FCy?FI?m1g?m2g?0 （2）

?MC?0；MC?MIB?m2ga?FI(a?R)?m1g(a?R)?0以B和A整体为研究对象：

?MB?0；MIB?FIR?m1gR?0 （4）

由（4）得：a2m1gA?2m

1?m2代入（2）、（3）得：

Fm2(3m1?m2)Cy?g，Mm2(3m1?m2)2mC?ga

1?m22m1?m2

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3）

（11、如图所示，边长为a的等边直角折杆AB和CD在C处铰接。画出A、B、C、D和AB、CD杆的虚位移。并给出它们之间的大小关系式。

D B ??rB P1

?rD??CDP2??rC?C??rA??ABa?FA12、 图示曲柄式压榨机的销钉B上作用有水平力F，此力位于平面ABC内。作用线平分∠ABC。设AB=BC，∠ABC=2?，各处摩擦及杆重不计，求对物体的压缩力。

解：xB??lcos?，yC?2lsin?；

?xB?lsin???，?yC?2lcos???

C而

??WF?F??xB?FN??yC?0

即：(Flsin??2FNlcos?)???0 故：Flsin??2FNlcos??0 即得：FN?

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B?F?N?A?F1Ftan? 213、在图示机构中，曲柄OA上作用一力偶，其矩为M，另在滑块D作用水平力F。机构尺寸如图所示。求当机构平衡时，力F与力偶矩M的关系。 解：由[?rA]AB?[?rB]AB得：?rAcos???rBcos2?； 同理由[?rB]BD?[?rD]BD得：?rBsin2???rDcos?；

???? 由虚功原理??WF?0得：M???F?rD?0

其中：???即得：M??rAaA??rAaa

?rA?F?sin2??rAcos???0 cos?cos2?M??OM (?Ftan?2?r)A? 0aM即：?Ftan2??0

a故有：M?Fatan2?

?C???rB?D?rD?F??l?lB14、 如图所示两等长杆AB与BC在点B用铰链连接，又在杆的D、E两点连一弹簧。弹簧的刚性系数为k，当距离AC=a时，弹簧内拉力为0。如在点C作用一水平力F，杆系处于平衡，求距离AC之值。

解：假设弹簧原长为l0，平衡时为l1，平衡时AC?d ylblabbd则：?0?1，即：l0?，l1?

ladllb即：?l?l1?l0?(d?a)

l??kb将弹簧解除代以力F1，F2，则F1?F2?(d?a) lxD?(l?b)cos?；xE?(l?b)cos?；xC?2lcos?； 则：?xD??(l?b)sin???；?xE??(l?b)sin???； Bbl??F1F2D?xE?FCAx?xC??2lsin???；

由虚功原理

??WF?0得：F1?xD?F2?xE?F?xC?0

[?F1(l?b)sin??F2(l?b)sin??2Flsin?]???0

8

Fl2即：?F1(l?b)sin??F2(l?b)sin??2Flsin??0 故有：d?a?2

kb15、 质量为m1的滑块Ａ与刚度系数为ｋ的弹簧相连，可沿光滑水平面来回滑动。在滑块Ａ上又连接一单摆。摆长为l，Ｂ的质量为m2。试列出该系统的运动微分方程。 A

??lva?vB ??vr?l??

B?

?ve?x

解：取弹簧原长处为弹性力零势能点，水平位置为重力零势能点；系统有两个自由度，取弹簧原长为坐标原点，物块A的位移x和杆AB的摆角?为广义坐标

T?1122m1vA?m2vB2211?2?2x?cos(???)] ?2?m2[x?2?l2???l? ?m1x2211?2?m2lx?cos??2?m2l2??? ?(m1?m2)x221V?kx2?m2glcos?

2111?2?m2lx?cos??kx2?m2glcos? ?2?m2l2???则：L?T?V?(m1?m2)x222d?L?L?cos??m2l??2sin??kx?0 （1） ??m2l?x由()??0得：(m1?m2)??dt?x?x由

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d?L?L???gsin??0 （2） ?cos??l?()??0得：?x?dt????16、跨过无重定滑轮D的无重绳的一端绕在均质圆柱B上，另一端系在沿水平面作纯滚动的均质圆柱A的中心上。已知两圆柱的质量m，半径R，求圆柱B下落时，两圆柱的中心的加速度、绳的拉力及水平面与圆柱A的摩擦力。 解：取初始位置为零势能位置及坐标原点

T?12112122mvA?JA?A?mvC?JC?C2222?12112x111?)2?(mr2)??2 ??(mr)()2?m(x??r? ?mx222r222523??mr2??2??mrx?? ?mx44V??mg(x?r?)

523??mr2??2?mg(x?r?) ??mrx??mx44d?L?Ld55?)?mg?0 即： ????g?0 （1） ??mr???r?由()??0得：(mxx?dt?x?xdt22d?L?Ld33?)?mgr?0 即：???g?0 （2） ??mr2???r?由()??0得：(mrxx?dt?x?xdt2226???g 联立解得：??x?g；r??A?A1111?FT DA ???aAFmg则：L?T?V??FN?CC?CB?vC?aC 10

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