数学分析答案(3)

2. 试用确界存在原理或有限覆盖定理证明有界性定理.

证明 （1）用确界存在原理证. 设E?{xf(x)在[a,x]上有界.x?[a,b]}，则E非空且有上界，由确界存在原理，存在??supE. 下面要证 ??b 并且b?E，以使E?[a,b]， 即f(x)在[a,b]上有界.反证法。若??b，由连续函数的局部有界性，??0?0, f(x)在

(???0,???0)内有界，即存在x0??，使x0?E，这与??supE相矛盾，所以??b.

再证f(x)在[a,b]上有界. 因为f(x)在点b连续，所以存在??0，使f(x)在(b??,b] 上有界；再由b?supE可知f(x)在[a,b??2]上有界，于是f(x)在[a,b]上有界.

（2）用有限覆盖定理证. 已知f(x)在[a,b]上连续，则f(x)在[a,b]上每一点x0的极限存在，因此存在点x0的邻域?(x0,?)，使f(x)在该邻域内有界，f(x)?M，这里的正数?及M与点x0有关.由于[a,b]上的每一点都得到这样一个邻域（即开区间），这些开区间的全体构成一个开区间集，它覆盖了[a,b]. 根据有限覆盖定理，在开区间集中必有有限个开区间覆盖[a,b]，记这有限个开区间为

(x1??1, x1??1), (x2??2, x2??2),?,(xk??k, xk??k)，相应的M分别记为

~~M1,M2,?,Mk. 令M?max{M1,M2,?Mk}，则有 f(x)?M , x?[a,b].

注：对于区间端点a和b，可以用延拓的方法将[a,a??)及(b???,b]换为开区间

(a??,a??)及(b???,b???)， 并考虑函数 ?f(a), a???x?a? g(x)??f(x), a?x?b

?f(b), b?x?b????3. 设f(x)是[0,??)上的连续正值函数,若limf(f(x))???.证明limf(x)???.

x???x??? 证明 反证法. 假定结论不成立，则?X?0, ?n有xn?n，使得 0?f(xn)?X. 因为f(x)连续，所以f(x)在[0,X]上有界，从而?M?0，使得f(x)?X时，有

f(f(x))?M.由此可知，?n,?xn?n，使 f(f(xn))?M，这与limf(f(x))???

x???矛盾.

4. 设f(x)在(??,??)内连续,且limf(x)???.证明f(x)在(??,??)内可取得最小值.

x???

证明 因为limf(x)???，故?x0?(??,??)有f(x0)?0，且?X?0，当

x???x?X时，有 f(x)?f(x0). 由于f(x)在[-X，X]上连续，故可取得最小值，从而f(x)在(??,??)内可取得最小值.

5. 设f(x)在[a,b]上连续,若开区间(a,b)内任一点均非f(x)的极值点.证明f(x)在[a,b]上单调.

证明 容易知道，f(x)的最大、最小值点不在(a,b)内，因此不妨假定f(a)是最小值，

f(b)是最大值，此时f(x)是递增的.事实上，若存在x1,x2?(a,b),x1?x2，使得

则f(x1)是[x1,x2]上的最大值，f(x2)是最小值. 而在[a,x1]上，则f(x1)f(x1)?f(x2)，

是最大值，f(a)是最小值. 由此得出x1是f(x)的极大值点，矛盾. 6. 设f(x)在[a,b]上连续,且对任意x?[a,b]总存在y?[a,b]使f(y)?12f(x).证明

f(x)在[a,b]上存在零点.

证明 由于f(x)在[a,b]上连续，故f(x)在[a,b]上也连续，设f(x0)为其最小值.

又依题设，存在y0?[a,b]，使得 f(y0)?7. 用有界性定理证明最值存在定理.

f(x0)2，这只有f(x0)?f(y0)?0.

证明 因为f(x)在[a,b]上连续，所以有界，从而存在上、下确界M、m.现证?x0?[a,b] 使f(x0)?M（对m类似可证）.假若不存在这样的x0，则对x?[a,b]有M?f(x)?0. 令F(x)?1M?f(x)，易知F(x)在[a,b]上连续，从而有界.不妨设F(x)?M,x?[a,b]

但因M是f(x)的上确界，故存在x??[a,b]使f(x?)?M?矛盾.

习题3-2

1 . 设a1,a2,a3?0,b1?b2?b3.证明:方程内恰好各有一个实根.

1M,F(x?)?1M?f(x?)?M

a1x?b1?a2x?b2?a3x?b3?0在(b1,b2)和(b2,b3)

证明 令 f(x)?a1x?b1?a2x?b2?a3x?b3，则f(x)在(b1,b2)和(b2,b3)内连续，

b1,b2,b3是f(x)的无穷型间断点.

由lim?x?b1a1x?b1???, lim?x?b2a2x?b2????，

312??????， 则有 lim?f(x)?lim????x?b1x?b1?x?b1x?b2x?b3??aaa312??? lim?f(x)?lim??????. x?b2x?b2?x?bx?bx?b123???aaa?从而必存在x1,x2 (b1?x1?x2?b2)，使f(x1)?0, f(x2)?0. 对f(x)在[x1,x2]上应用 零点定理，则f(x)在(x1,x2)?(b1,b2)内至少存在一个根.又由于f?(x)?0，故f(x)在

(b1,b2)内单调减，所以恰有一个实根.

类似证明f(x)在(b2,b3)内也恰有一个实根.

2. 闭区间[a,b]上具有介值性的函数是否一定在[a,b]上连续?

解 如果一个函数可以取到它的任何两个函数值之间的一切值，则称此函数具有介值性

质.闭区间上的连续函数具有介值性，但反之不真. 例如

?1?x, 0?x?1, f(x)??

?1?x, ?1?x?0.?具有介值性，但在x?0不连续. 又例如 f(x)???x, x为有理数， ?1?x?1.

??x, x为无理数，虽然f(x)取介于f(?1)??1,f(1)?1之间的所有数作为其函数值，但是f(x)在[?1,1]上并不连续.

3. 设函数f(x)在开区间（a, b）上连续，且f(a?0)和f(b?0)存在，证明：f(x)可取到介于f(a?0)和f(b?0)之间的一切值.

?f(a?0), x?a?证明 作辅助函数g(x)??f(x), a?x?b

?f(b?0), x?b.?g(x)在[a,b]上连续，当x?(a,b)时，g(x)?f(x).

4. 设f(x)在[a,b]上连续, xn?[a,b],limf(xn)?A.证明存在??[a,b]使f(?)?A.

n?? 证法1 因为f(x)在[a,b]上连续，所以存在最大值M和最小值m，且使

m?f(xn)?M，从而有m?A?limf(xn)?M.由介值定理知???[a,b]，使f(?)?A.

n?? 证法2 因为?xn?有界，所以存在收敛子列xnk???[a,b] (k??).而f(x)在[a,b]上连续，故有f(?)?limf(xnk)?limf(xn)?A.

k??n??5. 设f(x)在[a,b]上连续, f(a)?f(b).证明：存在c,d?[a,b],d?c?b?a2使得

f(c)?f(d).

b?a)?f(x)，则 2a?ba?ba?b F(a)?f()?f(a)， F()?f(b)?f().

222a?ba?b因为f(a)?f(b)，所以F()??F(a)，故存在??[a, ]，使得

22b?ab?aF(?)?f(??)?f(?)?0，即f(??)?f(?).

22b?ab?a 令 ??c, d???，则 d?c?, f(d)?f(c).

22证明 设 F(x)?f(x?6. 设f(x)在[0,1]上连续, n是任一自然数.

(1) 若f(0)?f(1).证明存在?,?,0?????1,????1n,使f(?)?f(?)；

(2) 若f(0)?0,f(1)?1.证明存在?n?(0,1)使f(?n?)?f(?n)?11nn.

证明 (1) 作F(x)?f(x?1)?f(x)，则有 n1F(0)?f()?f(0),n121F()?f()?f(),nnn ????212F(1?)?f(1?)?f(1?),nnn11F(1?)?f(1)?f(1?).nn由此，相加得

F(0)?F()???F(1?)?f(1)?f(0)?0

1n1n

kkk?1，即得所证. (a)若有k (k?0,1,2,?,n?1)，使得 F()?0，则取??,??nnnkkk则必存在k1,k2，使F(1)?0, F(2)?0，(b)若对一切k?0,1,2,?,n?1均有f()?0，

nnnkk1从而可知在1与2之间存在?，使得 0?F(?)?f(??)?f(?)

nnn1因此，取???,???? 即可得证.

n11(2) 作 F(x)?f(x?)?f(x)?，证法同(1).

nn

习题3-3

1. 判断下列函数的一致连续性.

(1) f(x)?sinx,x?[0,??); (2) f(x)?x,x?(??,??); (3) f(x)?sin221x,x?(0,1); (4) f(x)?223x,x?[0,??).

解 (1) 因为sinx1?sinx2?sinx1?sinx2sinx1?sinx2?2x1?x2 所以 ???0, 只要取???2，则?x1,x2?[0,??)，当x1?x2??时，就有

22 sinx1?sinx2?? 故f(x)在[0,??)上是一致连续的. (2)

(3) 取??11?????. 任给??0，取xn, xn22n?12n???2，

??xn??? xn?4n?(2n???2??xn????， , 当n充分大时，有xn)但是 sin(2n?)?sin(2n???2)?1???1 2故f(x)在区间(0, 1)非一致连续.

(4)

百度搜索“77cn”或“免费范文网”即可找到本站免费阅读全部范文。收藏本站方便下次阅读，免费范文网，提供经典小说综合文库数学分析答案(3)在线全文阅读。