第2，3，11章 习题解答
习题2-1
1. 若自然数n不是完全平方数.证明n是无理数. 证明 反证法. 假若n?pq(p,q?N,且p,q互质)，于是由nq2?p2可知,q2是
p2的因子，从而得q2?1即p2?n,这与假设矛盾.
2. 设a,b是两个不同实数.证明在a和b之间一定存在有理数.
证明 不妨设a
1 mm综上可得 na nn3. 设x为无理数.证明存在无穷多个有理数 pq(p,q为整数，q?0)使得x?pq?1q2. 证明 反证法. 假若只有有限个有理数满足不等式,即 x?令 piqi< 1qi2 , (i?1,2,3?,m) ??p??min?x?ii?1,2,3,?,m? qi??取 N:N?1, 且选取整数p,q(0?q?N), 使得 ?p111, x??N?2 qqqNp1??N???, qqq qx?p?但因q是正整数，故又有x?从而可知 习题2-2 ppi? (i?1,2,3,?m), 这与假设矛盾. qqi1．求下列数集的上、下确界. （1）?1???1??1? n?N?, （2）?(1?)nn?N?, nn??? （3）?(?1)???n1?1??(?1)n?1n?N?, （4）?y|y?x2, x?(?1, )?. n2???答案： (1) 上确界1,下确界0; (2) 上确界e,下确界2; (3) 上确界1,下确界-1； (4) 上确界1,下确界0. 2．设E?x|x?2,x?Q，验证infE??2. 证 ?x?E,由x?2得x??2??2是E的一个下界. 另一方面，设?1??2也是E的下界，由有理数集在实数系中的稠密性，在(?2,?1)2区间中必有有理数x?，则x??2?x??E且x???1??1不是E的下界.按下确界定义， 2?2?infE??2. 3．用定义证明上（下）确界的唯一性. 证明 设?为数集E的上确界，即??supE.按定义，?x?E有x??.若??也是E的上确界且????.不妨设????，则对???????0,?x0?E有x0????(????)即 x0??, 矛盾. 下确界的唯一性类似可证. 4．试证收敛数列必有上确界和下确界，且上下确界中至少有一个属于该数列.趋于??的数列必有下确界，趋于??的数列必有上确界. 证法1 设{xn}为收敛数列，则{xn}非空有界，由确界存在原理，存在 ??sup{xn}, ??inf{xn}.若???，则{xn}为常数数列，于是，?,??{xn}；若??? ?k}使xnk??, xn?k??(k??)，这与 且??{xn},??{xn}，则存在两个子列{xnk},{xn{xn}收敛相矛盾.由此可得，?与?至少有一个属于{xn}. 证法2 设limxn?a，若{xn}为常数列，则结论显然成立；若{xn}不是常数列， n??不妨设x1?a，对??x1?a2,?N0，当n?N0时，xn?U(a,?0)，而在邻域U(a,?0)外， 只有{xn}的有限多项.在这有限项中必存在{xn}的最大项或最小项，于是，{xn}的上下确界中至少有一个属于{xn}. 若xn???, 则{xn}有下界，所以必有下确界；若xn???，则{xn}有上界，所以必有上确界. 5．证明：单调减少有下界的数列必有极限. 证 设数列{xn}单调减少且有下界，根据确界存在原理{xn}有下确界，记 ??inf{xn}. 由 (1) xn?? (n?1,2,?)； (2) ???0,?xN?{xn} 使xN????. 因为{xn}单调减少，所以当n?N时，有xn?xN????. 于是有 0?xn????，故得 limxn??. n?? 习题2-3 1．用区间套定理证明：有下界的数集必有下确界. 证 设a是E的一个下界，b不是E的下界，则a?b. 令c1? 1(a?b)，若c1是E的下界，则取a1?c1, b1?b； 2若c1不是E的下界，则取a1?a, b1?c1. 令c2?1(a1?b1)，若c2是E的下界，则取a2?c2, b2?b1； 2若c2不是E的下界，则取a2?a1, b2?c2；……， 按此方式继续作下去，得一区间套{[an,bn]}，且满足：an是E的下界，bn不是E的下界(n?1,2,?). 由区间套定理???[an,bn] n?1,2,?，且liman?limbn??. n??n?? 下证??infE： an?x??(1)?x?E 都有x?an (n?1,2,?)，而??limn??，即?是E的下界. 从而当n充分大以后，有bn???.而bn不是E的下界???不(2)?????,由于limbn??， n??是E的下界，即?是最大下界. 2. 设f(x)在[a,b]上无界. 证明必存在x0?[a,b],使得f(x)在x0的任意邻域内无界. 证明 由条件知，f(x)在[a, (a?b)2]上或[(a?b)2, b]上无界，记使f(x)在其上无界的区间为[a1,b1]；再二等分[a1,b1]，记使f(x)在其上无界的区间为[a2,b2]，……，继续作下去，得一区间套{[an,bn]}，满足f(x)在[an,bn](n?1,2,?)上无界.根据区间套定理， ?x0?[an,bn] n?1,2,?，且liman?limbn?x0. n??n?? 因为对任意的??0，存在N，当n?N时，有[an,bn]?(x0??,x0??)，从而可知f(x) 在(x0??,x0??)上无界. 3. 设f(x),g(x)在[0,1]上满足f(0)?0,f(1)?0,若g(x)在[0,1]上连续, f(x)?g(x)在[0,1]上单调递增.证明存在??[0,1],使f(?)?0. 11,b1?1;若f()?0,22a?bn1则记a2?0,b2?.类似地,对已取得的[an,bn]二等分,若f(n)?0，则记 22a?bna?bna?bnan?1?n,bn?1?bn；若f(n)?0，则记an?1?an,bn?1?n.按此方式继续 222 证明 记a1?0,b1?1且二等分[0,1].若f()?0，则记a2?下去，得一区间套{[an,bn]}，其中f(an)?0,f(bn)?0. 根据区间套定理可知，???[an,bn],n?1,2,3?,且有 liman???limbn. n??n??12因为g(x)在[0,1]上连续，所以g(an)?g(?),g(bn)?g(?)(n??). 注意到 g(an)?f(an)?g(an)?f(bn)?g(bn)?g(bn) 可得 g(?)?lim[f(an)?g(an)]?lim[f(bn)?g(bn)]， n??n?? 再由 f(an)?g(an)?f(?)?g(?)?f(bn)?g(bn) 可知 g(?)?f(?)?g(?)?g(?) ， f(?)?0. 习题2-4 1. 证明下列数列发散 (1) xn?(2) yn?121n?(?1)n?2n?3nn2n?1, n?1,2,?; ???(?1)n?1nn, n?1,2,?. 证 (1) 因为x2n?(2) 因为y2n12n12n?1??1, x2n?1???0，(n??) 所以{xn}发散. 24n?124n?3n1n?11????, y2n?1??, (n??) 所以{yn}发散. 2n22n?122．证明:单调数列收敛的充要条件是其存在一个收敛子列. 证明 必要性显然成立. 充分性. 不妨设数列? xn?单调增加且存在 xnk?? xn?，有limxnk?a， k????现证limxn?a.因为limxnk?a，所以?K,当k?K时有xnk?a??.注意到 n??k?? ? xn?单调增加且xn?a，取N?nk，则当n?N时，有 xn?xN于是有 xn?a?xnk?a??. 3. 设极限lim(asinn?bcosn)存在,证明a?b?0. n???xnk 证明 (1) 假若 a?0, b?0或 a?0, b?0，显然题设极限不存在，矛盾. (2) 假若 a?0, b?0，设 lim(asinx?bcosn)?A n??令cos??aa2?b2, sin??Aa?b22ba2?b2，由nsi(，则有asinx?bcosn?a2?b2sin(n??) 从而得 sin(n??)?n?2??)?nsi(n??)?2nsi1?cos(n?1??)可知 cos(n??)?0 (n??). 又由sin(2n?2?)?2sin(n??)cos(n??)可知 sin(2n?2?)?0 (n??). 再 由 s2(in?2)n?2?][?s2ni?2?n)?2s(2?ci2n(on?1)s?2?][可知 cos(2n?2?)?0 (n??). 此结果与等式sin2(2n?2?)?cos2(2n?2?)?1矛盾. 4. 设在x0的某个邻域内有g(x)?f(x)?h(x),且limg(x)?limh(x)?A.证明 x?x0x?x0x?x0limfx(?)A. 证明 因为 x?xlimg(x)?limh(x)?A，根据海涅归结原理，?{xn}:xn?x0且 x?xxn?x0，都有limg(xn)?limh(xn)?A. n??n??又因为 g(x)?f(x?)h(，x) 所以 g(xn)?f(xn)?h(xn) n?1,2,?. x?x0根据数列极限的夹逼准则 limf(xn)?A， 从而limf(x)?A. n??5. 设f(x)在x0的一个邻域(x0??,x0??)内有定义.若对任意满足下列条件的数列 ?xn??(x0??,x0??),xn?x0明limf(x)?A. x?x0(n??),0?xn?1?x0?xn?x0都有limf(xn)?A.证 n??证明 反证法. 假若limf(x)?A，则??0?0,???0,?x??(x0??,x0??)使得 x?x0f(x?)?A??0. 取 ?1?1,?x1?(x0??1,x0??1)使得 f(x1)?A??0取 百度搜索“77cn”或“免费范文网”即可找到本站免费阅读全部范文。收藏本站方便下次阅读，免费范文网，提供经典小说综合文库数学分析答案在线全文阅读。
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