数学分析答案(2)

?2?min{,x1?x0},?x2?(x0??2,x0??2)，使得f(x2)?A??0;?,

取?n?min{121,xn?1?x0}，?xn?(x0??n,x0??n)，使得f(xn)?A??0，…….， n数列{xn}满足0?xn?1?x0?xn?x0，且xn?x0 (n??)，但f(xn)?A??0与

limf(xn)?A矛盾，所以limf(x)?A.

n??x?x0x?)A的充要条件是:对每个严格单调递增的正无穷大?xn?都有6. 证明limf(x???limf(xn?)A.

n??

习题2-5

1. 设?an?是有界数列.若?bn?满足lim(an?bn)?0.证明存在l和子列ank、bnk使

n??????limank?l?limbnk.

k??k??证明 因为数列?an?有界，由致密性定理，存在l和子列ank，使得 limank?l.

k????k??又因为 lim(an?bn)?0，所以 lim(ank?bnk)?0，从而有 limbnk?l.

n??k??2．设有界数列?xn?发散.证明:存在两个子列xnk?(1)?和?x?收敛于不同的极限.

(2)nk 证明 因为?xn?有界，由致密性定理，必有收敛的子列xnk?(1)?，设limxk??(1)nk?a.

又因为?xn?不收敛，所以存在?0?0，在(a??0,a??0)以外，有?xn?的无穷多项， 记这无穷多项所成的子列为xn设 limxnkk????，显然?x?有界.由致密性定理，必有收敛子列?x?，

(2)(2)n(2)nk?2??b ，显然 b?a.

3．用致密性定理证明：若f(x)在[a, b]上无界，则存在x0?[a, b]，使f(x)在x0 的 何邻域内无界.

证明 由于f(x)在[a, b]上无界，故?M?0,?x?[a, b] ，使f(x)?M. 特别取 M?1, ?x1?[a, b]，使f(x1)?1， M?2,?x2?[a, b]，使f(x2)?2 …….

于是，得点列?xn?:f(xn)?? (n??).

因为 a?xn?b，由致密性定理，?xn? 中必有收敛子列xnk，使得limxnk?x0

k????x0?[a, b]. 由于f(xn)?? (n??)，根据子列的性质，f(xnk)?? (k??)，

此即f(x)在x0 的任何邻域内无界.

4. 设定义在[a,b]上的函数f(x)对任意t?[a,b],均存在极限limf(x).证明f(x)在[a,b]x?t上有界.

证明 证法1反证法. 假定f(x)在[a, b]上无界，则?n, ?xn?[a, b]，使得f(xn)?n，

(n?1,2,?). 因为?xn?是有界数列，故存在子列xnk，使得limxnk?x0，x0?[a, b]，

k????f(xnk)?nk. 由此可知，极限limf(x)不存在，与题设矛盾.

x?x0证法2 由函数极限的局部有界性，?x?[a,b],?U(x;?x)与Mx?0，使得

?t?U(x;?x),f(t)?Mx. H??U(x;?x)x?[a,b]?是[a,b]的一个开覆盖，由有限覆盖定

理，存在[a,b]的有限开覆盖H? U(xi;?xi) 1?i?n ?H. 取M?maxMxi，

1?i?n~??则?x?[a,b]，x必属于H中某一个U(xk,?xk)，于是f(x)?Mxk?M. 5. 设函数f(x)在[a,b]上只有第一类间断点.证明f(x)在[a,b]上有界. 证明 反证法. 假若f(x)在[a,b]上无界，不妨设无上界，于是?xn?[a,b] 使limf(xn)???.因为?xn?有界，所以存在收敛子列xnk?x0?[a,b],(k??).

n??~若x0是f(x)的连续点，则有f(x0)?limf(xnk)?limf(xn)???,矛盾.

k??n??若x0是f(x)的第一类间断点，则有f(x0?)或f(x0?)?limf(xnk)?limf(xn)???，

k??n??亦矛盾.

习题2-6

1．设f(x)在(a, b)内有定义，a?c?d?b. 若对任意的x?[c, d]，存在Mx?0及

?x?0，使得x?,x???(x??x, x??x)，有

f(x?)?f(x??)?Mxx??x??，

证明:存在M?0，对一切x?, x???[c, d]，有

f(x?)?f(x??)?Mx??x??.

证明 作开区间集E??(x??x, x??x)x?[c, d]?，E覆盖[c, d]. 根据有限覆盖定理， 存在[c, d]的有限子覆盖，记为

(x1??1,x1??1), (x2??2,x2??2),??,(xm??m,xm??m).

当x?,x???(xi??i,xi??i)时，有f(x?)?f(x??)?Mxix??x??, (i?1,2,?m).

令M?Mx1?Mx2??Mxm，用插项法可得

?)?f(x??)? f(x??Mx?? x?, x???[c, d]. x，

2. 设f(x)在[a,b]上连续且恒正,试用有限覆盖定理证明: f(x)在[a,b]上存在正的下界.

3. 用有限覆盖定理证明区间套定理.

证明 设? [an,bn]?为区间套，要证存在?，使an???bn (n?1,2,?).

用反证法.假若?x?[a1,b1]都不是? [an,bn]?的公共点，于是?nx，使得x?[anx,bnx]，因而

??x?0, U(x;?x)?[an,bn]??. 作开区间集H?? U(x;?x) x?[a1,b1] ?，它覆盖了~[a1,b1].由有限覆盖定理，存在有限开覆盖H?? U(xi,?xi) i?1,2,?,n ??H覆盖[a1,b1].

现取n?maxnxi，[an,bn]??U(xi,?xi)??，而?(xi,?xi)?[a1,b1]，

1?i?n??nni?1i?1这与 [an,bn]?[a1,b1]相矛盾. 由此可知存在?，使an???bn (n?1,2,?).

习题2-7

1. 用柯西收敛准则判定下列数列的收敛性 (1) xn?cos1212??cos22132???cosn2n;

(2) xn?1????(?1)n?121n;

n(3) xn?a0?a1q?a2q???anq解 (1) 收敛. 因为

(q?1,ak?M,k?0,1,?).

xn?p?xp?

cos(n?1)cos(n?2)cos(n?p)????2n?12n?22n?p???12n?p?12(1?n?1111???p?1)?n??222?12n?1?12n?2

(2) 收敛. 因为

xn?p?xn? ? ? 111????(?1)p?1n?1n?2n?p

111????(?1)p?1n?1n?2n?p1111?(?)?????n?1n?2n?3n?1(3) 收敛. 设 n?m，则

xn?xm?am?1qm?1?am?2qm?2???anqn ?Mq ?Mq

2. 满足下列条件的数列?xn?是不是柯西列? (1) 对任意自然数p,都有limxn?p?xn?0;

n??m?1(1?q???q?1?qn?mn?m?1)

m?11?q?0 (m??)(2) xn?1?xn?kxn?xn?1,(0?k?1,n?2,3,?); (3)

?xk?1nk?1?xk?M(n?1,2,?,M?0).

解 (1) 对任意自然数p,都有limxn?p?xn?0，即???0,?N,当n?N时，有

n??xn?p?xn??, 故?xn?是柯西列.

(2) 因为 xi?1?xi?k所以

i?1x2?x1，

??i?1nxi?1?xi??ki?1ni?1x2?x1?(?ki)?i?1x2?x1k?x2?x11?k.

再由(3)，取M?x2?x11?kn即可得证.

(3) 记 yn??xi?xi?1 (n?2,3,?)，

i?2显然，?yn?是递增有界数列，因而是收敛数列，也是柯西列. 再根据不等式

xn?p?xn?i?n?1?xn?pi?xi?1?yn?p?yn (p?1,2,?)，

可知 ?xn?是柯西列.

3．证明limf(x)存在的充要条件是：对任意给定的??0，存在X?0，当x?, x???X 时，

x???恒有f(x?)?f(x??)??.

证明 必要性.设limf(x)?A，则???0, ?X?0，当x?X时，恒有

x??? f(x)?A?于是，当x??X,x???X时，有

?2.

f(x?)?f(x??)?f(x?)?A?f(x??)?A??2??2??.

充分性.已知???0, ?X?0，当 x?,x???X时，有f(x?)?f(x??)?? .

??xn?:xn??? (n??)，于是，对上述X?0, ?N，当m,n?N时，有xm?X, xn?X，

从而有 f(xn)?f(xm)??.

根据数列极限的柯西收敛准则可知 ?f(xn)?收敛，再由函数极限与数列极限的关系得到

x???limf(x)存在.

习题3-1

1. 设定义在[a,b]上的函数f(x)在(a,b)内连续,且lim?f(x)和lim?f(x)存在(有限).问

x?ax?bf(x)在[a,b]上是否有界?是否能取得最值?

解 在闭区间[a,b]上构造辅助函数

?f(x), x?(a,b),? g(x)??f(a?), x?a,

???f(b), x?b.则g(x)在[a,b]上连续，从而g(x)在[a,b]上有界. 由于g(x)?f(x) (a?x?b)，故

f(x)在(a,b)上也有界，即存在M1?0，使得 f(x)?M1, x?(a,b).

令 M?max?M1,f(a), f(b)?，则有 f(x)?M, x?[a,b]. 条件同上，但f(x)在[a,b]上却不一定能取得极值. 例如：

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