决策理论与方法(7)

效用函数—风险与效用

? 风险：遇到破坏或损失的机会或危险。

? “ 风险” ：以打鱼捕捞为生的渔民们在长期的捕捞实践中，深深的体会到

“ 风” 给他们带来的无法预测无法确定的危险，他们认识到，在出海捕捞打鱼的生活中，“ 风” 即意味着“ 险” ，因此有了“ 风险” 一词的由来。 ? 风险包含两个方面的内容：一是后果的损失严重程度；二是损失出现的可能性大小。

? 参考：http://baike.http://www.wodefanwen.com//view/156901.htm

效用函数—风险与效用

? 风险的度量

? 方差：设某决策方案a的后果为收益y，y的概率密度函数为f(y)，期望值为

E(y)，则方差

可用来度量风险，方差越大风险越大。

? 协方差：若期望收益为决策人设定的目标收益c，则可用协方差度量风险。 ? 临界概率：小于目标收益的概率。

效用函数—风险与效用

? 效用与风险：效用反映的就是决策人对风险的一种态度。

随机决策理论与方法

1、主观概率 2、效用函数 3、决策准则 4、贝叶斯决策分析

决策准则—决策问题的表示

? 决策树表示法

决策准则—决策问题的表示

? 决策表表示法

决策准则—最大可能值准则

? 决策者决策时都需要根据某种准则来选择决策方案——决策准则。

准则不同，决策结果就可能不同。下面介绍风险型决策中常用的几种决策准则。

? 最大可能值准则：（众数原则）

决策准则—贝叶斯准则

? 贝叶斯准则：期望效用最大或期望损失最小。

? 在实际决策中，一般先确定后果对决策人的实际价值即效用函数（若是损

失则使用负效用 ）（称为伯努利过程 ），然后再应用贝叶斯准则。

决策准则—E-V准则

? E-V准则：用期望与方差（度量风险）共同判决一个方案的优劣。

? 帕累托优：若不存在方案al，使得方案ak的期望与风险均劣于al，称ak为有

效方案或帕累托优。

2

? 评价函数：fi(E,V)=E(ai)+??i。?反映了决策人的风险态度，?>0风险厌恶； ?=0风险中立（对应于贝叶斯准则）； ?<0风险追求。

决策准则—E-V准则 决策准则—优势原则

? 在实际决策中，主观概率的确定有时是很困难的，因此可利用优势

原则进行决策。

? 给不出准确的主观概率；

? 任何两个行动(方案)之间都不存在绝对优； ? 决策方法(以损失函数为例)：

? 列出方案ak最优的判别不等式组E(ak) ≤E(ai), i=1,…,m ? 求解不等式组的解即得到ak方案最优的概率分布 ? 判断这种概率分布是否可能

决策准则—优势原则

? 当?(?1)>0.6时，方案a1最优；当?(?1)<0.6时方案a3最优；方案a2被称为强劣的

(strongly dominated)。

随机决策理论与方法

1、主观概率 2、效用函数 3、决策准则 4、贝叶斯决策分析

贝叶斯决策分析—贝叶斯定理

? 条件概率：设A、B为随机试验E中的两个事件，在事件A发生条件

下事件B发生的概率称为条件概率，记为?(B|A)，且?(B|A)=?(AB)/?(A)。(A→B)

? 若Aj(j=1,…,n)是样本空间S中n个互不相容的事件，且?(Aj)>0，

?(AkAl)=0(k≠l)；∪j(Aj)=S。称Aj是样本空间的一个划分。则对任一事件B，有：

贝叶斯决策分析—贝叶斯定理

? 贝叶斯定理：已知?(B|Aj)、?(Aj)(先验概率) (j=1,…,n)，求当事件B发生(随机

试验的结果或观察值)时Ak发生的概率(后验概率)。

? 贝叶斯定理在决策分析中的意义：在实际决策中，我们需要准确估计的随机

变量是未来的自然状态Θ，而通过随机试验所观察到的往往是与之相关的另一个随机变量。例如，疾病诊断往往是通过观察症状如发烧、咳嗽等来判断其疾病如感冒、甲流。贝叶斯定理可以帮助我们判断当出现发烧时患甲流的概率。

贝叶斯决策分析—贝叶斯定理

? 例：经临床观察，患甲流的病人约70%发烧超过38度，患感冒的病人约40%

发烧超过38度，而肺炎病人中有60%发烧超过38度。统计表明当前甲流发病率约15‰，感冒7‰ ，肺炎1‰ 。现有一病人发烧超过38度，请诊断该病人最可能患上哪种疾病。

? 解：记发烧超过38度的事件为X；患甲流、感冒、肺炎分别记为A、B、C。先验概率分别

为?(A)=0.015, ?(B)=0.007, ?(C)=0.001。条件概率分别为?(X|A)=0.7；?(X|B)=0.4；?(X|C)=0.6。

? 则?(X)=0.7×0.015+0.4×0.007+0.6×0.001=0.0139 ? ?(A|X)=0.7×0.015/0.0139=75.54% ? ?(B|X)=0.4×0.007/0.0139=20.14% ? ?(C|X)=0.6×0.001/0.0139=4.32%

贝叶斯决策分析—贝叶斯分析

? 贝叶斯风险：当决策人通过随机试验得到观察值x后，需要根据观

察值和某种决策准则?选择行动a，即a=?(x)。对于自然状态?及其先验概率?(?)，采取策略?时损失函数l(?,?(x))对随机试验结果x和自然状态?的期望值称为贝叶斯风险，记为r(?)。

r(?)=E?(Ex(l(?,?(x))))=???xl(?,?(x))p(x|?)?(?)

? 贝叶斯规则(正规型)：若策略空间存在某个策略?

*

，使得对于任意

其他策略，均有r(?*) ≤r(?)，则称?*为贝叶斯规则或贝叶斯策略。即r(?*)=min?{r(?)}

贝叶斯决策分析—贝叶斯分析

? 贝叶斯规则(扩展型)：在实际应用中，当行动集、状态集、观察值

集中的元素较多时，策略集很大，获得r(?)的最小值很困难，因此可对r(?)的计算公式进行变换：

r(?)=???xl(?,?(x))p(x|?)?(?)=?x?? l(?,?(x))p(x|?)?(?)

? 若使?? l(?,?(x))p(x|?)?(?)达到极小，r(?)必然达到最小

?

? 又?(x)>0，所以可使?? l(?,?(x))p(x|?)?(?)/?(x)达到极小

? 后验概率?(?|x)=p(x|?)?(?)/?(x)，因此r(?)的极小化问题转变为求 ??

l(?,?(x))?(?|x)的极小化问题。

贝叶斯决策分析—贝叶斯分析

? 扩展型贝叶斯分析过程

贝叶斯决策分析—贝叶斯分析

? 信息的价值：随机试验获得观察值x是需要成本的，而观察值x也可

以帮助我们减少决策损失。那么随机试验观察到的信息有多大价值呢？

? 假设我们未进行任何观察，那么根据贝叶斯准则，最小决策损失期望为：

min E(li(?,ai))

? 若试验获得了观察值x，则最小贝叶斯风险即为最小决策损失：min r(?) ? 观察信息的期望价值为：

min E(li(?,ai)) - min r(?)

贝叶斯决策分析—贝叶斯分析

? 例: (油井钻探问题)某公司拥有一块可能有油的土地，公司或自己开采，或以

以下两种模式出租：①无条件出租，租金45万元；②有条件出租，产量在20万桶或以上时，每桶提成5元；产量不足20万桶不提成。设钻井费用为75万元，采油设备费25万元（有油时），油价为15元/桶。假设油产量的可能状态及其先验概率分布如表。若决策人风险中立，决策人该选择什么行动？

贝叶斯决策分析—贝叶斯分析

? 解：公司可采取的行动有3种：a1-自己开采；a2-无条件出租；a3-

有条件出租。决策表如下(单位:万元)：

? 根据贝叶斯准则，方案a1效用最大，故应自己钻井。

贝叶斯决策分析—贝叶斯分析

? 如果通过地质勘探可以进一步了解该地区的产油情况，那么我们又

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