平新乔《微观经济学十八讲》课后习题详解(第7讲 要素需求函数、(3)

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图7-4 完全互补的生产函数的成本最小化

把z1?z2?q代入目标函数式，就得到成本函数为;

c?q???r1?r2?q

本问题可以直观地分析，由于生产函数显示的是一个完全互补的生产函数，因此，两种要素投入的比例必然是一比一的，因此其成本函数是c?q???r1?r2?q的形式。

（3）成本最小化问题为：

minr1z1?r2z2z1，z21ps?t?q??z?zp1p2?

这个问题的拉格朗日函数为：

1?ppp???z1,z2,???r1z1?r2z2???q??z1?z2?? ??成本最小化的一阶条件为：

1??ppp?1p?1?r1???z1?z2?z1?0 ①

?z11??ppp?1p?1?r2???z1?z2?z2?0 ② ?z21??ppp?q??z1?z2??0 ③ ???1p?1p??r?由①②③三式解得：z1?q?1??2???r1???pp?1???????r?，z2?q?1??1???r2???pp?1?????。

将上述两式代入目标函数式中，得到成本函数：

?C?r,q??q?r1??pp?1?r2pp?1????p?1p

14．下列说法对吗？为什么？

（1）当边际成本（MC）下降时，平均成本必下降；

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导，得到：

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c?q?q（2）当边际成本（MC）上升时，平均成本必上升。 答：（1）正确。理由如下：根据平均成本的定义AC?q??，这个式子关于产量q求

AC??q??c??q?q?c?q?q2?1?MC?q??AC?q??? q?又因为对任意的q?0，存在介于0到q之间的某个数?，使得下式成立（其中第二个等式用到了定积分中值定理）：

c?q??F??MC?t?dt?F?qMC???，其中????q

t?0q所以：

AC??q???11?FMC?q??AC?q????MC?q???MC???? ?qq?q?由于边际成本递减，所以MC?q??MC????0，这就意味着：

AC??q???1?FMC?q???MC?????0 ?q?q?（2）错误。因为对于递增的边际成本，虽然MC?q??MC????0，但是，由于存在固定成本

F这一项，因此无法判定当边际成本上升时，平均成本是否会上升。这也可以从图形q上看出，如图7-5所示，在边际成本上升的那一段，平均成本是先下降后上升。

图7-5 平均成本曲线和边际成本曲线即平均成本递减。

15．对于生产函数f?z1,z2??a1lnz1?a2lnz2（a1?0，a2?0），计算利润最大化的利润函数、供给函数。并判断该利润函数是否满足课本上讲过的性质（1）～（4）。 注：假设该生产函数只有一种产出。z1、z2为两种投入。

解：（1）对于该生产函数而言，相应的利润最大化问题为：

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z1，z2Born to win

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maxp?a1lnz1?a2lnz2??w1z1?w2z2 ①

①式分别关于z1和z2求偏导数，并令偏导函数等于零，得到：

pa1?w1 z1pa2?w2 z2从而解得要素1和2的需求函数为：

z1?z2?pa1 w1pa2 w2把要素1和2的要素需求函数代入目标函数式中，就可以得到利润函数为：

??w,p??p?a1ln??a1pap??a2ln2???a1?a2?p w1w2?把要素1和2的需求函数代入生产函数中，就可以得到厂商的供给函数为：

?apap?y?w,p??p?a1ln1?a2ln2?

w1w2??nn?R?在定义域R?（2）利润函数的性质：如果生产函数f:R?上是连续的，严格递增且

严格拟凹，f?0??0，那么对于产品价格p?0，投入品价格r?0，利润函数??p,r?是连续的，并且有以下四条性质：

①关于p递增；

②关于r递减；

③关于?p,r?是一次幂齐次的； ④对于?p,r?是凸的。 由利润函数??w,p??p?a1ln??a1pap??a2ln2???a1?a2?p，可得： w1w2???a1pap??a2ln2??0 w1w2??p??w,p???a1ln该利润函数关于p递增，满足利润函数性质①。 由?w??w,p???1apa1p?0，?w2??w,p???2?0，故该利润函数关于价格递减，满足性质

w2w1②。

由??tw,tp??tp?a1ln??a1tpatp??a2ln2???a1?a2?tp?t??w,p?，故该利润函数是一次齐次tw1tw2?985/211历年真题解析,答案,核心考点讲义,你想要的都在这→ 经济学历年考研真题及详解

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的，满足性质③。

如果一个函数的海赛矩阵正定，那么该函数必然是凸函数。经过计算可知，本题的利润函数的海赛矩阵是正定的，所以它是凸函数，即该利润函数满足性质④。

16．证明：在竞争型的市场中，如果一个厂商的生产技术具有规模报酬不变的特性，那么如果最大利润存在，它一定为零。

证明：采用反证法，在竞争型的市场中，假设一个具有规模报酬不变技术的厂商可以获得正的最大利润?*，则?*可以表示为：

?*?pf?x1*,x2*??w1x1*?w2x2*?0

其中p是产品价格，w1和w2是生产要素的价格，x1*和x2*是最优要素投入。 那么当厂商的生产规模扩大为原来的t（t?1）倍时，厂商的利润为：

******? ??t??pf?tx1*,tx2*??tw1x1*?tw2x2*?t??pf?x1,x2??w1x1?w2x2??t???这就和?*是最大利润相矛盾，所以厂商的最大利润只能是零。

17．说明生产者剩余也能由如下运算得出

?????pdq p?0这里，p*是市场给出的价格，企业是价格接受者。

????y?p?，这里y?p?是厂商的供给函数，这样题中的积分式答：根据霍大林引理有?p就可以表示为：

?y?p?dp

p?0这个积分的值恰好等于图7-6中阴影部分的面积，即生产者剩余。

图7-6 生产者剩余

18．假定一个从事非法复制计算机CDs的厂商有如下每日短期总成本函数

STC?q2?25

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（1）如果非法复制的计算机CDs每盘卖20元，则这个厂商每天生产多少？它的利润是多少？

（2）当p?20美元时，厂商的短期生产者剩余是多少？

（3）写出这个厂商的生产者剩余作为非法CDs价格的函数的一般表达式。 解：（1）由已知可得厂商的利润函数为：

??pq?STC?20q?q2?25

利润最大化的一阶条件为：

d??20?2q?0 dq解得q?10，此时厂商利润为??20?10?102?25?75（元）。

（2）由于生产者剩余等于利润和固定成本之和，所以该厂商的生产者剩余为：

PS???FC?25?75?100

（3）对于任意的价格p，厂商的利润函数为：

??pq?q2?25

利润最大化的一阶条件为：

d??p?2q?0 dq解得q?p/2和??p2/4?25，于是生产者剩余就等于利润与固定成本之和，即

PS???FC?p2/4?25?25?p2/4。

19．给出下列论断不成立的反例（或图像）：

（1）平均成本在任何地方都递减意味着边际成本在任何地方都递减。 （2）成本函数呈次可加性意味着平均成本在任何地方都递减。

答：（1）反例如下：假设厂商的总成本函数为TC?q??2?q，则相应的平均成本函数和边际成本函数分别为AC?q??2?1和MC?q??1。可见，平均成本函数在任何地方都是递减q的，但是边际成本保持不变，如图7-7所示。

图7-7 平均成本递减，边际成本不变

（2）成本函数的次可加性是指对于任意的产量q1，q2??，q?，都有：

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