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相应的短期平均成本为SAC?q??（2）短期边际成本为SMC?q??100q?。 q100q，由此可知，当厂商的产量分别为25个、50个、10050个、200个时，短期总成本分别为106.25元、125元、200元、500元，短期边际成本分别为0.5、1、2、4，短期平均成本分别为4.25元、2.5元、2元、2.5元。
（3）如图7-2所示。
图7-2 短期总成本和短期平均成本曲线
（4）SMC与SATC相交于SATC曲线的最低处。当多生产一单位的产品所增加的成本低于平均成本时，平均成本下降；当多生产一单位的产品所增加的成本高于平均成本时，平均成本上升。因此，当多生产一单位的产品所增加的成本等于平均成本时，平均成本最低。
9．一个富有进取心的企业家购买了两个工厂以生产装饰品。每个工厂生产相同产品而且每个工厂的生产函数都是q?KiLi（i?1，2）。每个工厂在各自拥有的资本存量方面却不同。工厂1拥有K1?25，工厂2拥有K2?100。K与L的租金价格由w?v?1元给出。 （1）如果该企业家试图使短期生产总成本最小，则产出应如何在两个厂间分配？
（2）给定在两个工厂间的最优产量分配，计算短期总成本、平均成本与边际成本曲线。产量为100、125与200时的边际成本是多少？
（3）在长期，应如何在两个工厂间分配产量？计算长期总成本、平均成本与边际成本曲线。
（4）如果两个厂商呈现规模报酬递减，则（3）将会有什么变化？ 解：（1）短期内，每个工厂的固定投入的数量是确定的，所以它们的生产函数就变为：
q1?5L1 q2?10L2 于是两个工厂各自的短期成本函数分别为：
q12STC1?q1??25?
252q2 STC2?q2??100?100工厂1边际成本为SMC1?q1??2q1； 25985/211历年真题解析,答案,核心考点讲义,你想要的都在这→ 经济学历年考研真题及详解
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工厂2边际成本为SMC2?q1??q2。 25由等边际法则SMC1?q1??SMC2?q2?，即有：
2q1q2 ?25501解得：q1?q2，即产量在两个工厂之间分配的比例为1∶4。设总产量为Q，则工厂1
414产量为Q，工厂2产量为Q。
551（2）把q1?q2代入成本最小化问题的预算约束中，解得q1?0.2q，q2?0.8q，把它们
4代入成本最小化问题的目标函数式中就得到了该企业的短期总成本函数：
q3?1??4?STC?STC1?q??STC2?q??125?3
5?5??5?短期平均成本函数为：
?1??4?125qSATC?SATC1?q??SATC2?q???3
q5?5??5?短期边际成本函数为：
?1??4?2qSMC?SMC1?q??SMC2?q??3
?5??5?5所以当q?100时，STC?205，SATC?2.05，SAC?1.6； 当q?125时，STC?250，SATC?2，SAC?2；
当q?200时，STC?445，SATC?2.225，SAC?3.2。
（3）长期内，由于两个工厂的生产函数相同，那么对于每一个单独的工厂而言，其成本最小化问题是：
minvK?wLK，L1212
s?t?q?KL利用拉格朗日乘数法解得资本和劳动力的要素需求函数为：
?w?K?q??
?v??v?2L?q??
?w?112把要素需求函数代入目标函数式中得到单个工厂的长期成本函数：
LTC?q?wv?1/2?q
这样企业的成本最小化问题就是：
minq1?q2q1，q2s?t?q1?q2?q
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易见，长期内无论在两个工厂之间如何分配产量，都不会影响企业的总成本，所以企业的长期成本函数为LTC?2q，相应的长期边际成本和长期平均成本分别为LATC?LMC?2。
（4）如果两个工厂的生产技术表现出规模报酬递减，那么厂商的产量分配标准是使得每个工厂生产的最后一单位产品的边际成本相同，即MC1?q1??MC2?q2?。特别地，由于本题假设两个工厂的生产函数相同，所以最优的产量分配方案是每个工厂生产相同的产量，即：
1q1?q2?q
2
10．假定某厂商的生产函数是q?2KL，而资本投入在短期固定为K。 （1）计算厂商的总成本为q、w、v与K的函数。
（2）给定q、w与v，在长期中，资本投入应如何加以选择以使成本最小化？ （3）用你在（2）中求得的结果去计算曲棍球棒生产的长期总成本。
（4）对于w?4美元，试画出曲棍球棒生产的长期总成本曲线。运用K?100、v?1美元，
K?200与K?400证明它是由（1）所计算出的短期成本曲线的包络线。
解：（1）短期内生产资料的数量固定，所以由厂商的生产函数解得L?总成本函数为：
STCv,w,q,K?vK?wL?vK?wq24K，于是短期
??q24K
（2）厂商的长期成本最小化问题可以描述为：
minSTC?v,w,q,K?
K把STC的表达式代入，求导，并令导数等于零，解得：
K?q2w ① v（3）把①式代入短期总成本函数的表达式中，就得到了长期总成本函数：
111qq22LTC?v,w,q???wv???wv??q?wv?2 22（4）当w?4美元，v?1美元时，长期总成本函数为LTC?q??2q。而当K?100时，短q2期总成本函数为STC?100?。
100①由LTC?q??STC?q?解得q?100，这说明长期总成本曲线和短期总成本曲线只有惟一的交点。
②当q?100时，LMC?SMC?2，所以长期总成本曲线和短期总成本曲线的交点也是它们惟一的切点。
③对任意的q?0，LMC?SMC，这说明短期总成本曲线总是位于长期总成本曲线之上。 以上三条结论对K?200和K?400也成立，这就说明长期总成本曲线是短期总成本曲线的包络线，如图7-3所示。
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图7-3 长期总成本曲线是短期总成本曲线的下包络
11．下列说法对吗？为什么？
因为利润最大化是成本最小化的充分条件，所以要素需求函数具有条件要素需求函数的所有性质。
答：这个说法不对，理由如下：
条件要素需求函数是根据成本最小化的条件得出来的，它是产量和要素价格的函数，具有以下性质：
（1）条件要素需求函数是要素价格的零次齐次函数。
（2）条件要素需求函数是自身要素价格的减函数，即
?xi?xj?。 ?rj?ri?xi?r，q??ri?0。
（3）要素的交叉价格效应相等，即
要素需求函数是根据利润最大化的条件得出来的，它是产品价格和要素价格的函数，具
有以下性质：
（1）要素需求函数是商品价格的增函数，自身要素价格的减函数。
（2）要素的交叉价格效应相等，即
?xi?xj?。 ?rj?ri对比以上各条性质，就可以发现，要素需求函数和条件要素需求函数各有各的性质，并
不能说前者具有后者的所有性质。
12．函数C?w,r,Y??wry可以成为一个成本函数吗？（这里w为工资率，r是利率，）并请陈述你的理由。 y为产量。
答：此函数不是一个成本函数，理由如下： 成本函数的性质包括：
（1）随着要素价格的提高而增加。 （2）是所有要素价格的一次齐次函数。 （3）是要素价格的凹函数。
下面证明函数C?w,r,y??wry不满足成本函数的一次齐次性。
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对任意的t，C?tw,tr,ty??twtrty?twry?tC?w,r,y?，这说明此函数不满足一次齐次性，所以它不是一个成本函数。
13．推导成本函数C?r1,r2,q?，当生产函数分别为以下形式时： （1）f?z1,z2??z1?z2 （2）f?z1,z2??min?z1,z2? （3）f?z1,z2???z1p?z2p?
1/p注：假设每个生产函数都只有一种产出。z1、z2为两种投入，r1、r2分别为两种投入的单价，q为产量。
解：（1）成本最小化问题为：
minr1z1?r2z2z1，z2
s?t?z1?z2?q由约束条件解得：
z2?q?z1 z2??0,q? ①
把①式代入目标函数式中，得到一个无约束的成本最小化问题，即：
min?r1?r2?z1?r2q
z1，z2下面分三种情况讨论：
r1?r2?0时，z1?0，z2?q，此时成本函数r2q。 r1?r2?0时，z1?q，z2?0，此时成本函数为r1q。
r1?r2?0时，两种要素的投入任意，此时成本函数为r1q或r2q。综上可知厂商的成本函数为：
c?q??q?min?r1,r2?
这个问题也可以进行直观的分析，由于生产函数显示的是两种生产要素是完全替代的，因此厂商只会选择价格便宜那种要素，成本函数必然是c?q??q?min?r1,r2?这种形式。
（2）成本最小化问题为：
minr1z1?r2z2z1，z2s?t?min?z1,z2??q
对于最优的要素需求数量，一定有z1?z2?q，如图7-4所示。
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