电磁场与电磁波课后习题及答案--第四章习题解答(3)

4.11 如题4.11图所示，一无限长介质圆柱的半径为a、介电常数为?，在距离轴线有一与圆柱平行的线电荷解 在线电荷

r0(r0?a)处，

ql，计算空间各部分的电位。

ql作用下，介质圆柱产生极化，介质圆柱内外的电位?(r,?)均为线电荷ql的电位

?l(r,?)与极化电荷的电位?p(r,?)的叠加，即?(r,?)??l(r,?)??p(r,?)。线电荷ql的电位

?l(r,?)??为

y ql2??0lnR??ql2??0lnr2?r02?2rr0cos? （1）

而极化电荷的电位

?p(r,?)满足拉普拉斯方程，且是?的偶函数。

a ? o ?0 ql介质圆柱内外的电位

?1(r,?)和?2(r,?)满足的边界条件为分别为

r0 x

① ②

?1(0?,为有限值；)

题4.11图

?2(r,?)??(,?)r?(? )lr?1??2,???1????02?r?r

③ r?a时，

由条件①和②可知，

?1(r,?)和?2(r,?)的通解为

??1(r,?)??l(r,?)??Anrncosn?n?1? (0?r?a) （2）

?2(r,?)??l(r,?)??Bnr?ncosn?n?1 (a?r??) （3）

将式（1）～（3）带入条件③，可得到

?Aann?1?ncosn???Bna?ncosn?n?1? （4）

?(An?nan?1?Bn?0na?n?1)cosn??(???0)n?1?ql?lnR2??0?r?r?a （5）

n当

r?r0时，将lnR展开为级数，有

lnR?lnr0??1r(n?1nr0)cn?os （6）

带入式（5），得

?(An?nan?1?n?1?Bn?0na?n?1(???0)ql)cosn???2??0r0an?1()cosn??rn?10 （7）

?n?nAa?Bann由式（4）和（7），有

An?nan?1?Bn?0na?n?1??(???0)qlan?1()2??0r0r0

ql(???0)1ql(???0)a2nAn??Bn??nn2??(???)nr2??(???)nr000000由此解得 ，

故得到圆柱内、外的电位分别为

ql(???0)?1rn?1(r,?)??lnr?r?2rr0cos???()cosn?2??02??0(???0)n?1nr0 （8）

ql220ql(???0)?1a2n?2(r,?)??lnr?r?2rr0cos???()cosn?2??02??0(???0)n?1nr0r （9）

ql220讨论：利用式（6），可将式（8）和（9）中得第二项分别写成为

ql(???0)?1rnql(???0)?()cosn??(lnR?lnr0)?2??0(???0)n?1nr02??0(???0) ql(???0)?1a2nql(???0)?()cosn??(lnR??lnr)?2??0(???0)n?1nr0r2??0(???0)

其中

R??r2?(a2r0)2?2r(a2r0)cos?。因此可将

?1(r,?)和?2(r,?)分别写成为

?1(r,?)??2?0qlq(???0)lnR?llnr02??0???02??0(???0) 1ql2??0lnR?1?(???0)ql1(???0)qllnR??lnr2??0???02??0???0

?2(r,?)??2?0qlr,???0 由所得结果可知，介质圆柱内的电位与位于（00）的线电荷的电位相同，而介质圆

a2

(,0)

r,qr柱外的电位相当于三根线电荷所产生，它们分别为：位于（00）的线电荷l；位于0的

???0???0qlql??????00线电荷；位于r?0的线电荷。

?4.12 将上题的介质圆柱改为导体圆柱，重新计算。

解 导体圆柱内的电位为常数，导体圆柱外的电位?(r,?)均为线电荷电荷的电位

ql的电位?l(r,?)与感应

?in(r,?)的叠加，即?(r,?)??l(r,?)??in(r,?)。线电荷ql的电位为

ql2??0lnR??ql2??0lnr2?r02?2rr0cos? （1）

?l(r,?)??而感应电荷的电位

?in(r,?)满足拉普拉斯方程，且是?的偶函数。

?(r,?)满足的边界条件为

① ?(r,?)??lr(?,(r)??)；

②

?(a,?)?C。

由于电位分布是?的偶函数，并由条件①可知，?(r,?)的通解为

??(r,?)??l(r,?)??Annr?cosn?n?0 （2）将式（1）和（2）带入条件②，可得到

??Aa?nncosn??C?qln?02??lna2?r20?2ar0cos?0 2将

lna?r20?2ar0cos?展开为级数，有

lna2?r2?0?2ar??lnr1a0cos0??(r)ncosn?n?1n0 带入式（3），得

??A?nq?lnacosn??C???[lnr1ann?020??()cosn?]0n?1nr0 A?C?qlql由此可得 2??lnrAa2n00n??0，

2??0n(r)0 故导体圆柱外的电为

?(r,?)??ql2??lnr2?r20?2rr0cos??0

3）

（4）

（5）

（ 1a2n(C?lnr0)??()cosn?2??02??0n?1nr0r （6）

qlql?讨论：利用式（4），可将式（6）中的第二项写成为

ql1a2n?()cosn??(lnR??lnr)?2??0n?1nr0r2??0

ql?其中

R??r2?(a2r0)2?2r(a2r0)cos?。因此可将?(r,?)写成为

?(r,?)??ql2??0lnR?ql2??0lnR??ql2??0lnr?C?ql2??0lnr0

由此可见，导体圆柱外的电位相当于三根线电荷所产生，它们分别为：位于（

r0,0）q的线电荷l；

a2

(,0)

?qqr位于0的线电荷l；位于r?0的线电荷l。

4.13 在均匀外电场

E0?ezE0中放入半径为a的导体球，设（1）导体充电至U0；

（2）导体上

充有电荷Q。试分别计算两种情况下球外的电位分布。 解 （1）这里导体充电至时导体球面上的电荷密度在

U0应理解为未加外电场E0时导体球相对于无限远处的电位为U0，此

???0U0a，q?4??0aU0。E总电荷将导体球放入均匀外电场0中后，

E0的作用下，产生感应电荷，使球面上的电荷密度发生变化，但总电荷q仍保持不变，导体

球仍为等位体。 设

?(r,?)??0(r,?)??in(r,?)，其中

?0(r,?)??E0z??E0rcos?

是均匀外电场

E0的电位，?in(r,?)是导体球上的电荷产生的电位。

电位?(r,?)满足的边界条件为 ①

r??时，?(r,?)??E0rcos?；

② r?a时，

?(a,?)?C0，

??0?S??dS?q?r

其中

C0为常数，若适当选择?(r,?)的参考点，可使C0?U0。

?2?1?(r,?)??Ercos??Arcos??Br?C1 011由条件①，可设

3A?aE0，B1?aU0，C1?C0?U0 1代入条件②，可得到

3?2?1C?U?(r,?)??Ercos??aErcos??aUr00000若使，可得到

（2）导体上充电荷Q时，令

Q?4??0aU0，有

U0?Q4??0a

Q4??0r

?(r,?)??E0rcos??a3E0r?2cos??利用（1）的结果，得到

4.14 如题4.14图所示，无限大的介质中外加均匀电场

E0?ezE0，在介质中有一个半径为

a的球形空腔。求空腔内、外的电场E和空腔表面的极化电荷密度（介质的介电常数为?）。

解 在电场电场

E0的作用下，介质产生极化，空腔表面形成极化电荷，空腔内、外的电场E为外加

E0与极化电荷的电场Ep的叠加。设空腔内、外的电位分别为?1(r,?)和?2(r,?)，则边界

条件为 ①

r??时，?2(r,?)??E0rcos?；

?(r,?)为有限值； ② r?0时，1r?a时， ?1(a,?)??2(a,?)，

?0??1????2?r?r

③

由条件①和②，可设

?1(r,?)??E0rcos??Ar1cos? ?2(r,?)??E0rcos??A2r?2cos?

带入条件③，有

?3A1a?A2a?2，??0E0??0A1???E0?2?aA2

a ? ?0 o

z

???0???03A1??E0A2??aE02???2???00由此解得 ，

E0 题4.14图

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