习题解答
4.1 如题4.1图所示为一长方形截面的导体槽，槽可视为无限长，其上有一块与槽相绝缘的盖板，槽的电位为零，上边盖板的电位为
U0，求槽内的电位函数。
解 根据题意，电位?(x,y)满足的边界条件为
y?)?a(y,?) 0① ?(0,) 0② ?(x,0?
③
?(x,b)?U0
根据条件①和②，电位?(x,y)的通解应取为
y ?(x,y)??Ansinh(n?1?n?yn?x)sin()aa
b o U0 由条件③，有
a 题4.1图
U0??Ansinh(?
ax n?1n?bn?x)sin()aa
sin(两边同乘以
n?x)a，并从0到a对x积分，得到
a2U0n?xAn?sin()dx?asinh(n?ba)?a0
4U0?,n?1,3,5,?n?sinh(n?ba)2U0?(1?cosn?)??n?2,4,6,n?sinh(n?ba)?0，
?(x,y)?故得到槽内的电位分布
4U01?,sinh?n?1,3,5nn?(ban?ysinh()a?nx)sin(a
)4.2 两平行无限大导体平面，距离为b，其间有一极薄的导体片由y?d到y?b(???x??)。上板和薄片保持电位
U0，下板保持零电位，求板间电位的解。设在薄片平面上，从y?0到
y?d，电位线性变化，?(0,y)?U0yd。
y U0解 应用叠加原理，设板间的电位为
?(x,y)??1(x,y)??2(x,y)
其中，
boxydxy oxy 题 4.2图
?1(x,y)为不存在薄片的平行无限大导体平面间（电压为
x U0）的电位，即?1(x,y)?U0yb；?2(x,y)是两个电位为零
的平行导体板间有导体薄片时的电位，其边界条件为： ①
?2(x,0)??2(x,b)?0
②
?2(x,y)?0(x??)
U0?U?y??0b?2(0,y)??(0,y)??1(0,y)???U0y?U0y?b?d③
(0?y?d)(d?y?b)
??xn?y?nb?2(x,y)??Ansin()e?(x,y)的通解为 bn?1根据条件①和②，可设2
U0?U?y?n?y??0bAnsin()???bn?1?U0y?U0y?b?d由条件③有
sin(两边同乘以
d(0?y?d)(d?y?b)
n?y)b，并从0到b对y积分，得到
b2U2Uyn?y11n?yAn?0?(1?)sin()dy?0?(?)ysin()dy?2U02bsin(n?d)b0bbbddbb(n?)db
?xU02bU0?1n?dn?y?nby?sin()sin()e2?2?(x,y)?bd?bbn?1n故得到
4.3 求在上题的解中，除开定出边缘电容。
U0yb一项外，其他所有项对电场总储能的贡献。并按
Cf?2WeU02解 在导体板（y?0）上，相应于
?2(x,y)的电荷面密度
???2???02?y?y?0?x2?0U0?1n?d?nb??sin()e??dn?1nb
则导体板上（沿z方向单位长）相应的总电荷
??x2?0U0n?d?nb4?Ub00q2???2dx?2??2dx??2??sin()edx??2?12sin(n?d)n?db?dn?1nb0n?1??0???
2?2?0bU011n?dWe?q2U0??sin()?222?dn?1nb 相应的电场储能为
2We4?0b?1n?dCf?2?2?2sin()U0?dn?1nb
其边缘电容为
4.4 如题4.4图所示的导体槽，底面保持电位
U0，其余两面电位为零，求槽内的电位的解。
解 根据题意，电位?(x,y)满足的边界条件为
y?)?a(y,?) 0① ?(0,y ?0(y?? )② ?(x,y)③
?(x,0?)U0
根据条件①和②，电位?(x,y)的通解应取为
o U0
a题4.4图
a x
?(x,y)??Ane?n?yasin(n?1?n?x)a
n?x)a
由条件③，有
U0??Ansin(n?1?sin(两边同乘以
n?x)a，并从0到a对x积分，得到
?4U0,?a2U0n?x?n?2U0An?sin()dx?(1?cosn?)??a?a?0，n?0n?1,3,5,n?2,4,6,ya
?(x,y)?故得到槽内的电位分布为
4U01?n??,e?n?1,3,5nn?xsin()a
4.5 一长、宽、高分别为a、b、c的长方体表面保持零电位，体积内填充密度为
??y(y?b)sin(?xa)sin(?zc
)的电荷。求体积内的电位?。 解 在体积内，电位?满足泊松方程
?2??2??2?1?x?z????y(y?b)sin()sin()?x2?y2?z2?0ac （1）
长方体表面S上，电位?满足边界条件
?S?0。由此设电位?的通解为
?(x,y,z)?1?0???Amnpsin(m?1n?1p?1???m?xn?yp?z)sin()sin()abc
代入泊松方程（1），可得
???Amnp[(m?1n?1p?1???m?2n?2p?)?()?()2]?abc
sin(m?xn?yp?z?x?z)sin()sin()?y(y?b)sin()sin()abcac
(m?1或p?1)
由此可得
Amnp?0??2n?2?2n?yA[()?()?()]sin()??1n1abcby(y?b) （2） p?1由式（2），可得
n??2n?yA1n1[()?()2?()2]??y(y?b)sin()dy?4(b)3(cosn??1)?abcb0bbn?
2?b?8b2??3?(n?)?0?n?1,3,5,n?2,4,6,8b2?
?(x,y,z)??故
1?xn?y?zsin()sin()sin()?51n1??0n?1,3,5nabc,3[()2?()2?()]2abc
4.6 如题4.6图所示的一对无限大接地平行导体板，板间有一与z轴平行的线电荷
ql，
其位置为
(0,d)。求板间的电位函数。
解 由于在(0,d)处有一与z轴平行的线电荷个区域，则这两个区域中的电位上，可利用?函数将线电荷ql，以x?0为界将场空间分割为x?0和x?0两
?1(x,y)和?2(x,y)都满足拉普拉斯方程。而在x?0的分界面
ql表示成电荷面密度?(y)?ql?(y?y0)。
电位的边界条件为
y ①
?1(x,0)=?1(x,a)?0
?2(x,0)=?2(x,a)?0
ql d??) a ②
1(x,y)?0(x?
ox题 4.6
图
?2(x,y)?0(x???)
③
?1(0,y)??2(0,y)
(??2ql?x???1?x)x?0????(y?d)0
由条件①和②，可设电位函数的通解为
??1(x,y)??A?n?xan?ynesin(n?1a) (x?0)
??n?y2(x,y)??B?xanensin(n?1a) (x?0)
由条件③，有
???An?yBn?ynsin()?nsin(n?1a?n?1a) ???An?n?y?n?nsin(n?1aa)??Bnn?1asin(n?yqa)?l??(y?d) 0 由式（1），可得
An?Bn （3）
sin(m?y将式（2）两边同乘以
a)，并从0到a对y积分，有
1） （2）
（
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