广东揭阳市2011届高三上学期学业水平考试（数学理）(3)

n?a2?an?2???∴数列?n????是首项为1??0，公差为1等差数列，

33??3?3???an?2?∴n????n?1， -------------------------------------------------------------------------------6分 3?3?∴数列?an?的通项公式为an?(n?1)3n?2n．-------------------------------------------------7分 解法2：由an?1?3an?3n?1?2n(n?N?)

nan?1an1?2?可得n??1???-------------------------------------------------------------------------2分 ?1n333?3?an12n?bb?b?1?()--------------------------------------------------------------3分 ，则nn?1n3n33∴当n?2时

1222bn?bn?1?bn?1?bn?2???b3?b2?b2?b1?(n?1)?[()?()2???()n?1]----5分

333322?(n?1)?[1?()n?1]

3322n?1∴bn?b1?(n?1)?[1?()]

332bn?(n?1)?()n-------------------------------------------------------------------------------------6分

3令

∴an?3nbn?2n?(n?1)3n------------------------------------------------7分

解法3：∵a2?3a1?32?2?32?22，---------------------------------------------------------------1分

na3?3(32?22)?33?22?2?33?23，--------------------------------------------------------2分 a4?3(2?33?23)?34?23?3?34?24．----------------------------------------------------3分

由此可猜想出数列?an?的通项公式为an?(n?1)3n?2n．---------------------------------------4分

以下用数学归纳法证明．

①当n?1时，a1?2，等式成立．

②假设当n?k（k?N,k?2）时等式成立，即ak?(k?1)3?2， 那么ak?1?3ak?3k?1?kk?2k?3[(k?1)3k?2k]?3k?1?2k

?[(k?1)?1]3k?1?2k?1．----------------------------------------------------------------------6分

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这就是说，当n?k?1时等式也成立．根据①和②可知，等式an?(n?1)3n?2n对任何

n?N?都成立．-----------------------------------------------------------------7分

（2）令Tn?32?2?33?3?34???(n?2)3n?1?(n?1)3n，----------①--------------8分 ------9分 3Tn?33?2?34?3?35???(n?2)3n?(n?1)3n?1 -----------------②①式减去②式得：

?2Tn?3?3???3?(n?1)323nn?13n?1?32??(n?1)?3n?1，-----------------10分

2(n?1)3n?13n?1?32(2n?3)?3n?1?9??∴Tn?．--------------------------------12分 244∴数列?an?的前n项和

(2n?3)3n?2?9n?1(2n?3)3n?1?2n?3?1Sn??2?2?．------14分

4421．解：（1）若a?1,b??1，则f(x)?(x2?x?1)ex

有f?(x)?(2x?1)e?(x?x?1)e?e(x?3x)

令f?(x)?0得x1??3,x2?0-------------------------------------------1分

x2xx23,0)∵当x?(??,?3)时f'(x)?0，当x?(?0,??)时f'(x)?0，当x?(时，f'(x)?0

∴当x??3时,函数f(x)有极大值，f(x)极大值＝f(?3)?5，--------------------2分 3e当x?0时，函数f(x)有极小值，f(x)极小值?f(0)??1 -------------------------3分 （2）∵2a?b??3 即 b??2a?3

x2xx2又f?(x)?(2x?a)e?(x?ax?b)e?e[x?(2?a)x?(a?b)]

∴f?(x)?e[x?(2?a)x?(?3?a)]＝

x2ex(x?1)[x?(3?a)]--------------------------------5分

当?3?a?1即a??4时，f'(x)?e(x?1)?0

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x2∴函数f?x?在(??,??)上单调递增；---------------------------------------6分 当?3?a?1，即a??4时，由f?(x)?0得x??3?a或x?1，

由f?(x)?0得1?x??3?a；-----------------------------------------------------------7分

当?3?a?1，即a??4时，由f?(x)?0得x??3?a或x?1，

由f?(x)?0得?3?a?x?1；-------------------------------------------------8分 综上得：当a??4时，函数f?x?在(??,??)上单调递增；

当a??4时，函数f?x?在(??,1)和(?3?a,??)上单调递增，在(1,?3?a)上单调递减-9分

当a??4时,函数f?x?在(??,?3?a)和(1,??)上单调递增，在(?3?a,1)上单调递减．---10分

（3）根据题意g(x)?|f(x)|2＝|x?ax?b|， xe∵g(x)在[?1,1]上的最大值为M，

∴g(?1)?M,g(0)?M,g(1)?M

即|1?a?b|?M,|b|?M,|1?a?b|?M --------------------------------------12分 2＝|(1?a?b)?(1?a?b)?2b|?|1?a?b|?|1?a?b|?|2b|?4M ∴M?

1 ---------------------------------------------14分（其它解法请参照给分） 2

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