内蒙古包头市2012届高三第三次模拟考试数学（文）试题(2)

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直角坐标系xOy中，以原点为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C的方程?3x??2?t??2为??4cos?，直线l的方程为?（t为参数），直线l与曲线C的公共点为T。?y?1t??2（1）求点T的极坐标；（2）过点T作直线l',l'被曲线C截得的线段长为2，求直线l'的极坐标方程。

24．（本小题满分10分）选修4－5：不等式选讲 设f(x)=|x|+2|x-a|（a>0）． （I）当a=l时，解不等式f(x)≤4；

（II）若f(x)≥4恒成立，求实数a的取值范围

内蒙古包头市2012届高三第三次模拟考试

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数学(文科)参考答案

一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，满分60分. 题号 答案

1 A

2 B

3 B

4 A

5 D

6 A

7 C

8 C

9 D

10 D

1

1

2 B

1B

二、填空题：本大题共4小题，每小题5分． 13. -4 14.

8315． 2 16. 3

三、解答题：本大题共6小题，满分70分

????????17．解 (1)∵?BAC?x，AC?AB?8，4?S?43， 又S?12bcsinx，

3 ． ???????4分

∴bccosx?8，S?4tanx，即 1?tanx? ∴所求的x的取值范围是

(2)∵

?4?x??3. ???7分

?4?x??3，

f(x)?3sin2x?cos2x

?2sin(2x? ∴

2?3?2x??65?6)， 9分

?6?，

12?sin(2x??6)?32. ???10分

∴f(x)min?f(?3)?1，f(x)max?f(?4)?3. ???12分

18．（I）证明：取A?C的中点M，连接MF,MB, 则FM∥DC, 'A11F且FM=DC,又EB∥DC,且EB=DC，从而有 22DFM//EB，所以四边形EBMF为平行四边形，

MC故有EF//MB， ?????4分 又EF?平面A?BC，MB?平面A?BC，

A'EB所以EF∥平面A?BC． ??????6分 F（II）过A?作A?S?DE，S为垂足，

因为平面A?DE⊥平面BCDE，且面A?DE?平面

BCDE=DE，所以A?S⊥平面BCDE，??????8分

DCA?S?2，又，

??????12分

EB所以

19.【解析】（1）由样本数据知，30件产品中，一等品有6件，二等品有9件，三等品有

15件. ????3分

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∴样本中一等品的频率为

630?0.2，

故估计该厂生产的产品的一等品率为0.2, ???4分 二等品的频率为三等品的频率为

9301530?0.3，故估计该厂产品的二等品率为0.3, ?5分 ?0.5，故估计该厂产品的三等品率为0.5．?6分

（2）样本中一等品有6件，其中等级系数为7的有3件，等级系数为8的也有3件， ????????7分

记等级系数为7的3件产品分别为C1、C2、C3，等级系数为8的3件产品分别为P1、

P2、P3,则从样本的一等品中随机抽取2件的所有可能为：

,，（C1,P3），（C2,C3）,（C1,C3）,（C1,C2）（C1,P1），（C1,P2）（C2,P1）,

（C3,P1），（C2,P3）,（C3,P2）,（C3,P3）,(P1,P2),（P1,P3）（P2,P3）, 共15（C2,P2）,

种， ????10分

20.解：（Ⅰ）由△OMF是等腰直角三角形，得b?1，a?故椭圆方程为

x22b?2，

2?y2?1． ????5分

（Ⅱ）若直线AB的斜率存在，设AB方程为y?kx?m，依题意m??2．

设A(x1,y1)，B(x2,y2)，

2?x2y???1,由 ?8 得 ?1?2k2?x2?4kmx?2m2?8?0． ???7分 4??y?kx?m,则x1?x2??4km1?2k2,x1x2??2m?81?2kx222．

由已知

y1?2x1x1y2?2?8，

所以

kx1?m?2?kx2?m?2x2?8，

即2k??m?2?所以k?mkm?2x1?x2x1x2?8． ???10分

12k?2．

12?4，整理得 m?12故直线AB的方程为y?kx?k?2，即y?k（x?）?2．

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所以直线AB过定点（?12． ???11分 ,?2）

若直线AB的斜率不存在，设AB方程为x?x0， 设A(x0,y0)，B(x0,?y0)， 由已知

y0?2x012??y0?2x0?8，

12得x0??．此时AB方程为x??12，显然过点（?12． ,?2）

综上，直线AB过定点（?． ???12分 ,?2）

21.解：（I）f‘(x)?ex?xex?(1?x)ex，???2分

当x??1时，f(x)?0,

f(x)在(??,?1)内单调递减；

当x??1时，f/(x)?0,

f(x)在(?1,??)内单调递增. ???4分 又g/(x)?2ax?1,由g/(?1)??2a?1?0得a?此时g(x)?12x?x?212.

12(x?1)?212，

12显然g(x)在(??,?1)内单调递减，在(?1,??)内单调递增，故a?.???6分

(II)由f(x)?g(x)，得f(x)?g(x)?x(ex?ax?1)?0.???7分 令F(x)?ex?ax?1，则F/(x)?ex?a.???8分

?x?0，?F(x)?ex?a?1?a.

若a?1，则当x?(0??)时，F/(x)?0，F(x)为增函数，而F(0)?0， 从而当x?0,F(x)?0，即f(x)?g(x)；???10分

/若a?1，则当x?(0,lna)时，F(x)?0，F(x)为减函数，而F(0)?0，

从而当x?(0,lna)时F(x)?0，即f(x)?g(x)，则f(x)?g(x)不成立. 综上，a的取值范围为(??,1].???12分

22.（Ⅰ）如图，连接OC，∵ OA=OB，CA=CB，∴ OC⊥AB，∴ AB是⊙O的切线 （Ⅱ）∵ ED是直径， ∴ ∠ECD=90°，Rt△BCD中， ∵ tan∠CED=

12CDEC12, ∴ = ， ∵ AB是⊙O的切线，

∴ ∠BCD=∠E，又 ∵ ∠CBD=∠EBC，∴ △BCD∽△BEC, ∴

BDBC2

=

CDEC=

12 ， 设BD=x,则BC=2x，

2 又BC=BD·BE， ∴ (2x)=x·（ x＋6），

解得：x1=0,x2=2, ∵ BD=x＞0, ∴ BD=2， ∴ OA=OB=BD＋OD=3＋2=5? 23.

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??2－3x，x＜0，

24.（Ⅰ）f(x)＝|x|＋2|x－1|＝?2－x，0≤x≤1，

?3x－2，x＞1．?

2

当x＜0时，由2－3x≤4，得－≤x＜0；当0≤x≤1时，1≤2－x≤2；

3

2

当x＞1时，由3x－2≤4，得1＜x≤2．综上，不等式f(x)≤4的解集为[－，2]．

3

??2a－3x，x＜0，

（Ⅱ）f(x)＝|x|＋2|x－a|＝?2a－x，0≤x≤a，可见，f(x)在(－∞，a]单调递减，在

?3x－2a，x＞a．?

(a，＋∞)单调递增．当x＝a时，f(x)取最小值a．所以，a取值范围为[4，＋∞)．

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