广东省汕头市金山中学2013届高三上学期期中考试 数学文试题(3)

又f(?x)??f(x)，得a?1 （2分） 经检验a?1,b?1符合题意.（3分） (2)任取x1,x2?R,且x1?x2（4分）

1?2x11?2x2(1?2x1)(2x2?1)?(2x1?1)(1?2x2) 则f(x1)?f(x2)=x ?x2?x1x212?12?1(2?1)(2?1)2(2x2?2x1)=x x21(2?1)(2?1)（6分）

?x1?x2,?2x1?2x2?0,又?(2x1?1)(2x2?1)?0?f(x1)?f(x2)?0,?f(x)为R上的减函数. （8分）

(3)? t?R,不等式f(t2?2t)?f(2t2?k)?0恒成立, ?f(t2?2t)??f(2t2?k)

?f(x)为奇函数, ?f(t2?2t)?f(k?2t2)（10分） ?f(x)为减函数, ?t2?2t?k?2t2.（11分）

即k?3t2?2t恒成立,而3t2?2t?3(t?)2? 1

?k??.（14分）

3

20. （本小题满分14分）解：⑴∵f(x)?mxx?n2221311 ??.33（13分）

,∴f?(x)?m(x?n)?mx?2x(x?n)22?mn?mx(x?n)22.又

f(x)在x?1处取得极值2.

m(n?1)?4x?(1?n)2?0?f?(1)?0∴?,即?,解得n?1,m?4,经检验满足题意,∴f(x)?2.………

mf(1)?2x?1???1?n?2（4分） ⑵由⑴知f?(x)?x04?4x222(x?1).假设存在满足条件的点A,且A(x0,24x0x0?12),则kOA?24x0?12,

又f?(x024?4(2))?x2202[(2)?1]?16(4?x0)2(x0?4)2.则由kOA?f?(x02),得

42x0?1?16(4?x0)2(x0?4)242?4x0,∴5x0,

2∵x0?0,∴x0?,得x0??42555.故存在满足条件的点A,此时点A的坐标为(25855,9)或

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(?255,?859). ………… （8分）

?4(x?1)(x?1)(x?1)22⑶解法1：f?(x)? ,令f?(x)?0,得x??1或x?1.

当x变化时,f?(x)、f(x)的变化情况如下表：

x f?(x) f(x) (??,?1) ?1 0 (?1,1) 1 0 (1,??) ? 单调递减 ? 单调递增 ? 单调递减 极小值 极大值 ∴f(x)在x??1处取得极小值f(?1)??2,在x?1处取得极大值f(1)?2. 又x?0时,f(x)?0,∴f(x)的最小值为f(?1)??2.

∵对于任意的x1?R,总存在x2?[?1,1],使得g(x2)?f(x1),∴当x?[?1,1]时,g(x)最小值不大于?2.又g(x)?x2?2ax?a?(x?a)2?a?a2.

∴当 a??1时,g(x)的最小值为g(?1)?1?3a,由1?3a??2,得a??1； 当a?1时,g(x)最小值为g(1)?1?a,由1?a??2,得a?3；

当?1?a?1时,g(x)的最小值为g(a)?a?a2.由a?a2??2,即a2?a?2?0,解得a??1或a?2.又?1?a?1,∴此时a不存在. 综上,a的取值范围是(??,?1]?[3,??). ………… (14分) 解法2：同解法1得f(x)的最小值为?2.

∵对于任意的x1?R,总存在x2?[?1,1],使得g(x2)?f(x1),∴当x?[?1,1]时,g(x)??2有解,即x2?2ax?a?2?0在[?1,1]上有解.设h(x)?x2?2ax?a?2,则

???4a2?4(a?2)?4(a?1)(a?2)?0???1?a?1得a??, ??h(?1)?3a?3?0??h(1)??a?3?0或h(?1)h(1)?(3a?3)(?a?3)?0,得a??1或a?3.

∴a??1或a?3时,x2?2ax?a?2?0在[?1,1]上有解,故a的取值范围是

(??,?1]?[3,??).

解法3：同解法1得f(x)的最小值为?2.

∵对于任意的x1?R,总存在x2?[?1,1],使得g(x2)?f(x1),∴当x?[?1,1]时,g(x)?x2?2ax?a??2有解,即(2x?1)a?x2?2在[?1,1]上有解.令2x?1?t,则

x?2t?2t?142,∴at?t?2t?942,t?[?3,1].

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∴当t?[?3,0)时,a?(t?2?)??[(?t)?(?)]??1；当t?0时,得0?4t24t1911994,不成立,∴

a不存在；

当t?(0,1)时,a?(t?2?).令?(t)?t?2?,t?(0,1],∵t?(0,1]时,??(x)?1?4tt1999t2?0,

∴?(t)在(0,1]上为减函数,∴?(t)??(1)?12,∴a??12?3.

41综上,a的取值范围是(??,?1]?[3,??).

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