第二章 机器人运动学
2.2.3 变换矩阵的逆
在分析机器人时，如果已知坐标系｛B｝相对于坐标系｛A｝的值 ，为了得到｛A｝相对于｛B｝的描述 ,需要求这个矩阵的逆。一个直接求逆的方法就是将4 4齐次变换求逆。同样，我们还可以通过变换的性质求逆。下面是关于x轴简单旋转矩阵的求逆过程。旋转矩阵如下：
(2-19)
我们采用以下的步骤来计算旋转矩阵的逆： 1) 计算矩阵的行列式 2) 将矩阵转置
3) 将转置矩阵的每个元素用它的子行列式代替 4) 用转置后的矩阵除以行列式 通过以上步骤我们得到：
(2-20)
关于x轴的旋转矩阵的逆与它的转置矩阵相同，即： (2-21)
2.3 机器人的正逆运动学
对于一个已知构型的机器人，当它的连杆长度和关节角度都已知时，计算机器人手的位姿就称为正运动学。也就是说，如果已知
机器人所有的关节变量，用正运动学方程就能计算任一瞬间机器人的位置和姿态。如果要将机器人的手放到一个期望的位姿，就
必须知道机器人所有关节的长度和角度。由机器人手的位姿来求关节和连杆变量的过程就称为机器人的逆运动学。对于正运动学，
必须推导出一组特定方程，我们只要将已知的关节和连杆变量代入方程就能计算出机器人的位姿，然后再根据这些方程求解出逆运动学方程。
在空间中，要确定一个物体的几何状态需要确定其3个位移坐标（位置）和三个旋转坐标（姿态）。机器人手部的空间位置和姿
态的表示可以借助一个固连在它上面的参考坐标系来表示，只要这个坐标系可以在基座的参考坐标系的空间中表示出来，那么该机器人手部相对于基座的位姿就是已知的了，可采用齐次坐标变换的方法完成这两个坐标系的坐标转化。
图2-3 机器人手的位置和姿态描述
机器人手部的位姿如图2-3所示，可由固接在机器人手部的坐标系｛B｝来表示。该坐标系由其原点位置和三个单位矢量(n, o, a)唯一确定。坐标系｛A｝表示固连在机器人基座上的固定参考坐标系。向量P为坐标系｛B｝原点在坐标系｛A｝中的位置矢量。前面已经讨论过了一个坐标系在固定坐标系的表示故这里直接给出坐标系｛B｝在坐标系｛A｝中的位姿的表示： （2-22）
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第二章 机器人运动学
2.3.1正运动学的D-H表示法
机器人建模采用的是Denavit和Hartenberg提出来的标准方法，我们简称为D-H模型，该模型可用于任何复杂的机器人构型。 假设机器人由一系列的关节和连杆构成，这些关节包括滑动的和旋转的，连杆长度任意，确保在空间能构成任意想要的机器人模型。为了表示这个模型，我们需要为每个关节指定一个参考坐标系，然后再考虑从一个关节到下一个关节的变换。
假设一个机器人由任意多的连杆和关节以任意形式构成。如图2-4所示，任意三个顺序连接的关节和连杆，每个关节都可以平移和关节n+2之间，这些关节和连杆前后还有其他连杆和关节。
或旋转。指定第一个关节为关节n，第二个第三个关节分别为n+1和n+2,连杆n位于关节n和n+1之间，连杆n+1位于关节n+1
图2-4 关节-连杆组合的通用D-H表示法
D-H表示法建模的第一步是为每个关节指定本地参考坐标系，每个关节都必须指定x轴和 轴，由于D-H法不用y轴，一般不指定y轴。具体步骤如下：
? 所有关节用 轴表示，如果关节是旋转， 轴位于按右手规则旋转的方向，如果关节是滑动的， 轴为沿直线运动的方向。关节n处 轴的下标记作n-1。对于旋转关节，绕 轴的旋转（ 角）是关节变量，对于滑动关节，沿 轴的连杆长度d是关节变量。 ? 如图2-4所示，通常关节不一定平行或相交，因此z轴通常是斜线，但总有一条公垂线，正交于任意两条斜线。通常在公垂线方向上定义本地参考坐标系的x轴。例如 表示 和 之间的公垂线， 的方向即沿 方向。
? 如果两个关节的 轴平行，那么它们之间就有无数条公垂线，我们可以挑选与前一公垂线共线的公垂线，从而简化模型。 ? 若两相邻的关节 轴相交，则不存在公垂线，我们选择垂直于两轴平面的任意直线，同样简化了模型。 在图2-4中， 角表示绕 轴的旋转， 表示 轴上两相邻公垂线之间的距离， 表示每一条公垂线的长度， 角表示相邻两 轴的夹角。通常只有 和 是变量。
从一个参考坐标系变换到另一个参考坐标系（例如从 - 到 - ），可以通过以下四步标准运动实现： ? ? ? ?
绕
沿 沿 将
轴旋转 ，使得 和 相互平行且共面。 轴平移 距离，使得 和 共线。
轴平移 距离，使得的原点重合，此时两个坐标系的原点在同一位置。
轴绕 旋转 ，使得 和 对准。至此，坐标系 和坐标系 +1完全一致，变换结束。
在 +1和 +2坐标系间按照同样的运动顺序也可以实现坐标系间的变换。我们可以从参考坐标系开始，转换到机器人底座，再到第一个关节，依次下去直至末端执行器。每个变换矩阵（记作A）都是由上述四个矩阵依次右乘的结果： （2-23） （2-24）
从机器人基座到手（末端执行器）之间的总变换可以表示为： （2-25）
为了简化计算，我们为关节和连杆参数制作一个表格，每个参数可以从机器人的原理图上读出，计算时再这些参数代入A矩阵。在本文中设计的简单三自由度机器人模型参数如图2-5所示。所有链接采用旋转关节，D-H参数如表2-1所示。
图2-5 简单三自由度机器人（单位：英寸）
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第二章 机器人运动学
表2-1 机器人D-H参数表（逆转为正，顺转为负） 连杆i d 1 2 3
a
90° 0 0 0° 0° 65 0 -90° -30° 0 200 0°
4 - 30°0 150 0°
将上述角度值代入式（2-25），运用MATLAB进行计算出机器人初始位置坐标：
2.3.2逆运动学方程的求解
如下：
（2-26）
为了求解角度，我们从 开始，依次左乘上述矩阵，得到每个关节角度表达式： （2-27）
因此，我们的三自由度机器人逆运动关节角度表达
（2-28）
为了让机器人处于适当的位姿，我们需要求解每个关节的角度值，这就是机器人的逆运动学。我们可以通过矩阵 左乘 来求解，
2.4 微分运动
微分运动即机器人的微小运动，可以用它来推导不同部件之间的速度关系。
图2-6 （a）具有两自由度平面结构 （b）速度图
如图所示的两个自由度的简单机构， 表示第一个连杆相对于参考坐标系的旋转角度， 表示第二个连杆相对于第一个连杆的旋转角度。B点的速度可以计算如下：
（2-29）
将速度方程写成矩阵形式得到如下结果： （2-30）
方程左边表示B点速度的x,y分量。B点的位置我们可以用下述方程表示： （2-31） 对方程中的 和 微分，写成矩阵形式如下：
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第二章 机器人运动学
（2-32） 我们看到，（2-29）和（2-31）式在形式上很相像，只是前者表示的是速度关系，后者表示的是微分运动的关系。因此在机器人运动中，我们可以将关节的微分运动与速度联系起来。
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第三章
第三章 基于ADAMS的机器人的虚拟样机分析
3.1 ADAMS概述
美国MSC.Software公司在2003年3月收购了全球最大机构的仿真软件、咨询服务、系统集成供应商MDI/ADAMS。MSC.Software公司的ADAMS软件是虚拟样机领域内广泛使用的软件,可以使工程师、设计人员能够在物理样机构造前,建立机械系统的“模拟样机”,预估出机器的工作性能。ADAMS软件具有如下特点:
（1）分析类型包括运动学、静力学分析以及线性和非线性动力学分析 （2）具有二维和三维建模能力
（3）具有50余种联结副、力和发生器组成的库和强大的函数库 （4）具有组装、分析和动态显示模型的功能，包含刚体和柔体分析 （5）具有与CAD、UG、Pro/E、Matlab、ANSYS等软件的专用接口
（6）具有开放式结构,允许用户集成自己的子程序
基于ADAMS的虚拟样机技术是在制造物理样机前,利用计算机技术建立该产品的数学模型,通过基于实体的可视化仿真分析,模拟该系统在实际工作环境中的运动学和动力学特性,并反复修改设计,从而得到最优方案。 A 创建模型
创建机械系统模型时,首先要创建构成模型的各个零部件。零部件创建完后,需要使用运动关节约束库创建零部件之间的约束副,确定部件之间的连接情况以及仿真过程中构件之间的位置关系。最后,施加运动及各种载荷使样机按照设计要求进行仿真。 B 测试验证模型并细化
模型创建过程中和完成后,都可以对模型进行运动仿真测试。通过对模型的性能测试,验证设计方案的正确性，然后,在模型中增加更复杂的因素,进一步细化模型。为便于不同方案的比较,通过设计变量不同取值的迭代仿真,求出设计变量的最优值。 C 优化设计
采用设计和优化分析的研究手段，确定各个设计变量相对于解算结果的灵敏度并最终确定目标函数的最优值。【8】
3.2 ADAMS中机器人模型的建立
本文机械手模型参考了PUMA机器人的结构，建模过程中依照模块化的思想先绘制各个部件，然后通过布尔运算和参数的调整，完成建模。【15】
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