2007年高考数学试题汇编—三角函数(3)

（安徽理16）

已知0???????，?为f(x)?cos?2x??的最小正周期，??????1??2)，且a?b?m．求a??tan?????，?1?， b?(cos?，4????2c2o??sco?s?s??in?2(的值．

?sin)本小题主要考查周期函数、平面向量数量积与三角函数基本关系式，考查运算能力和推理能力．本小题满分12分． 解：因为?为f(x)?cos?2x???π??的最小正周期，故??π． 8???1????2． 4?·b?m，又a因a·b?cos?·tan???故cos?·tan???由于0?????1????m?2． 4?π，所以 42cos2??sin2(???)2cos2??sin(2??2π)?

cos??sin?cos??sin?2cos2??sin2?2cos?(cos??sin?)??

cos??sin?cos??sin??2cos?

1?tan?π???2cos?·tan?????2(2?m)

1?tan?4??（安徽文20）

设函数f(x)??cosx?4tsin2xxcos?4t3?t2?3t?4，x?R， 22其中t≤1，将f(x)的最小值记为g(t)． （I）求g(t)的表达式；

（II）讨论g(t)在区间(?11)，内的单调性并求极值．

本小题主要考查同角三角函数的基本关系，倍角的正弦公式，正弦函数的值域，多项式函数的导数，函数的单调性，考查应用导数分析解决多项式函数的单调区间，极值与最值等问题的综合能力．本小题满分14分． 解：（I）我们有

xxf(x)??cos2x?4tsincos?4t3?t2?3t?4

22

?sinx?1?2tsin?4t?t?3t?4 ?sinx?2tsinx?t?4t?3t?3 ?(sinx?t)?4t?3t?3．

23223222由于(sinx?t)2≥0，t≤1，故当sinx?t时，f(x)达到其最小值g(t)，即

g(t)?4t3?3t?3．

（II）我们有g?(t)?12t?3?3(2t?1)(2t?1)，???t?1． 列表如下：

2t g?(t) ????1，??? 2???1 2?1????，? ?22?1 20 极小值?1?1? ?，?2?? 0 极大值? ? g(t) ? ?1?g??? ?2???? ?1?g?? ?2?? 由此可见，g(t)在区间??1，?调减小，极小值为g?

1??1??11?和单调增加，在区间，1?????，?单2??2??22??1????，极大值为?2g?????4．

?2??2?（福建理17）

在△ABC中，tanA?（Ⅰ）求角C的大小；

13，tanB?． 45（Ⅱ）若△ABC最大边的边长为17，求最小边的边长．

本小题主要考查两角和差公式，用同角三角函数关系等解斜三角形的基本知识以及推理和运算能力，满分12分． 解：（Ⅰ）?C?π?(A?B)，

13?45??1． ?tanC??tan(A?B)??131??45又?0?C?π，?C?（Ⅱ）?C?3π． 43?， 4?AB边最大，即AB?17．

又?tanA?tanB，A，B??0，?，

???????角A最小，BC边为最小边． sinA1?tanA??，??π?由?cosA4且A??0，?，

?2??sin2A?cos2A?1，?得sinA?ABBCsinA17??2． ．由得：BC?AB?sinCsinAsinC17所以，最小边BC?2．

（广东理16）

4)，B(0，0)，C(c，0)． 已知△ABC顶点的直角坐标分别为A(3，（1）若c?5，求sin∠A的值； （2）若∠A是钝角，求c的取值范围．

解析： （1）AB?(?3,?4)，AC?(c?3,?4)，若c=5， 则AC?(2,?4)，∴????????25?6?161，∴sin∠A＝； cos?A?cos?AC,AB???55?255????????????2）若∠A为钝角，则?(25,??)； 3??3c?9?16?025解得c?，∴c的取值范围是

c?03?（海南宁夏理17）

如图，测量河对岸的塔高AB时，可以选与塔底B在同一水平面内的两个测点C与D．现测得?BCD??，?BDC??，CD?s，并在点C测得塔顶A的仰角为?，求塔高AB．

解：在△BCD中，?CBD?π????． 由正弦定理得所以BC?BCCD?．

sin?BDCsin?CBDCDsin?BDCs·sin??．

sin?CBDsin(???)s·tan?sin?．

sin(???)在Rt△ABC中，AB?BCtan?ACB?

（湖北理16）

????????????????已知△ABC的面积为3，且满足0≤AB?AC≤6，设AB和AC的夹

角为?．

（I）求?的取值范围；（II）求函数f(?)?2sin2?最大值与最小值．

本小题主要考查平面向量数量积的计算、解三角形、三角公式、三角函数的性质等基本知识，考查推理和运算能力．

?π?????3cos2?的?4?，B，C的对边分别为a，b，c， 解：（Ⅰ）设△ABC中角A则由

1bcsi?n?230≤bccos?≤6，可得0≤cot?≤1，，

?ππ?∴???，?．

?42?（

Ⅱ

）

??π??π??f(?)?2sin2?????3cos2???1?cos??2????3cos2?

?4??2???π???(1?sin2?)?3cos2??sin2??3cos2??1?2sin?2????1．

3??π?π2π?π???ππ?∵???，?，2????，?，∴2≤2sin?2????1≤3．

3?63?3???42?即当??

（湖北文16）

已知函数f(x)?2sin?25ππ

时，f(?)max?3；当??时，f(?)min?2． 124

?π??ππ??x??3cos2x，x??，?． ?4??42?（I）求f(x)的最大值和最小值；

（II）若不等式f(x)?m?2在x??，?上恒成立，求实数m的取值

42范围．

本小题主要考查三角函数和不等式的基本知识，以及运用三角公式、三角

?ππ???

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