浙江省台州中学2016届高三(上)第三次统练数学试卷(文科)(解析版)(3)

15．对一切实数x，所有的二次函数f（x）=ax2+bx+c（a＜b）的值均为非负实数，则的最大值是

．

【考点】基本不等式在最值问题中的应用；二次函数的性质．

2

b2≤4ac，【分析】设b﹣a=k，则b=a+k，依题意有b＞a＞0，即（a+k）≤4ac，即

．

根据，再利用基本不等式求出它的最大值．

【解答】解：设b﹣a=k，则b=a+k，依题意有b＞a＞0，b2≤4ac，即（a+k）2≤4ac，即

．

故

=．

当且仅当，即b=c=4a时取等号．

故答案为：．

三、解答题：本大题共5小题，共74分．解答题应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤．

16．B，C的对边分别是a，b，c，b，c成等比数列， △ABC中，内角A，已知a，且cosB=．（1）求的值； （2）设

?

=，求a+c的值．

【考点】等比数列的性质．

【分析】（1）由等比数列性质得b2=ac，由余弦定理能求出的值． （2）由已知得

，再由

或=，能求出c+a．

【解答】解：（1）因为a，b，c成等比数列，所以b2=ac， 由余弦定理可知：

，

第11页（共19页）

又（2）因为

，故

，所以或=，

，解得

，

或=．

所以ca=2，又

故c+a=3．

17．设各项均为正数的数列{an}的前n项和为Sn，满足4Sn=an+12﹣4n﹣1，n∈N*，且a1=1． （1）求数列{an}的通项公式； （2）证明：对一切正整数n，有

．

【考点】数列与不等式的综合． 【分析】（1）由已知数列递推式可得an+1=an+2（n≥2），求得a2，验证a2﹣a1=2，说明数列{an}是等差数列，则通项公式可求；

（2）把数列的通项公式代入不等式左边，然后利用裂项相消法证得答案． 【解答】（1）解：由4Sn=an+12﹣4n﹣1， 得则

，两式作差得，∵an＞0，

，

∴an+1=an+2（n≥2），

由a1=1，4Sn=an+12﹣4n﹣1，得a2=3，满足a2﹣a1=2，

∴数列{an}是以1为首项，以2为公差的等差数列，则an=1+2（n﹣1）=2n﹣1； （2）证明：=（

18．在Rt△AOB中，

Rt△AOB以直线AO为轴旋转得到Rt△AOC，，斜边AB=4．

=）=

．

且二面角B﹣AO﹣C是直二面角．动点D在斜边AB上． （1）求证：平面COD⊥平面AOB； （2）当

时，求异面直线AO与CD所成角的正切值；

（3）求CD与平面AOB所成最大角的正切值．

第12页（共19页）

【考点】直线与平面所成的角；异面直线及其所成的角；平面与平面垂直的判定． 【分析】（1）利用二面角的定义、线面与面面垂直的判定与性质即可得出；

（2）作DE⊥OB，垂足为E，连结CE，则DE∥AO，∠CDE是异面直线AO与CD所成的角，在Rt△CDE中，可求异面直线AO与CD所成角的正切值；

（3）由（1）知，CO⊥平面AOB，可得∠CDO是CD与平面AOB所成的角，当OD最小时，∠CDO最大，结合含30°角的直角三角形的边角关系即可得出． 【解答】（1）证明：由题意，CO⊥AO，BO⊥AO， ∴∠BOC是直二面角B﹣AO﹣C的平面角，… ∴CO⊥BO，

又∵AO∩BO=O，∴CO⊥平面AOB， 又CO?平面COD，

∴平面COD⊥平面AOB． …

（2）解：作DE⊥OB，垂足为E，连结CE，则DE∥AO， ∴∠CDE是异面直线AO与CD所成的角． … 在 Rt△COB中，易得CO=BO=2，∴又

．

．

． …

．

，

∴在Rt△CDE中，

∴异面直线AO与CD所成角的正切值为

（3）解：由（1）知，CO⊥平面AOB，∴∠CDO是CD与平面AOB所成的角，且

．

当OD最小时，∠CDO最大，… 这时，OD⊥AB，垂足为D，

∴CD与平面AOB所成最大角的正切值为

，．…

，

第13页（共19页）

19．已知抛物线C：x2=4y，过焦点F的直线l与抛物线交于A，B两点（A在第一象限）． （Ⅰ）当S△OFA=2S△OFB时，求直线l的方程；

（Ⅱ）过点A（2t，t2）作抛物线C的切线l1与圆x2+（y+1）2=1交于不同的两点M，N，设F到l1的距离为d，求

的取值范围．

【考点】抛物线的简单性质．

【分析】（1）由S△OFA=2S△OFB，可得|AF|=2|FB|．设A

，B

，利

用，解出即可；

（2）由于，因此y′=

，可得切线l1的方程为y﹣t2=t（x﹣2t），圆心（0，﹣1）到

=2|t|

，点

l1的距离为d1=

，且d1＜1，故0＜t2＜3．则|MN|=2

第14页（共19页）

F到l1的距离d=

， =，通过换元利用基本不等式的性质即可

得出．

【解答】解：（1）∵S△OFA=2S△OFB，∴|AF|=2|FB|．

设A，B，则，

故∴A

=2，

．

． ，

因此直线l的方程为（2）由于

，因此y′=

故切线l1的方程为y﹣t2=t（x﹣2t）， 化简得tx﹣y﹣t2=0，

则圆心（0，﹣1）到l1的距离为d1=

，且d1＜1，故0＜t2＜3．

则|MN|=2=，

则点F到l1的距离d=则

=

，

，

令z==﹣1+=﹣1+

，（m=5t2+1∈（1，16）．

则z=﹣1+，

故∈．

第15页（共19页）

百度搜索“77cn”或“免费范文网”即可找到本站免费阅读全部范文。收藏本站方便下次阅读，免费范文网，提供经典小说综合文库浙江省台州中学2016届高三(上)第三次统练数学试卷(文科)(解析版)(3)在线全文阅读。