浙江省台州中学2016届高三(上)第三次统练数学试卷(文科)(解析版)(2)

6．定义行列式运算

=a1a4﹣a2a3．将函数

的图象向左平移

个单

位，以下是所得函数图象的一个对称中心是（ ） A．

B．

C．

D．

【考点】二阶矩阵；正弦函数的对称性；函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换． 【分析】利用行列式定义将函数f（x）化成

y=2sin2x．从而写出函数y=2sin2x图象的对称中心即可． 【解答】解析：

，向左平移

后得到

，向左平移

后得到

y=2sin2x．

所以函数y=2sin2x图象的对称中心为

，

令k=1时，得到

．

故选B

7．已知点P（x，y）是直线kx+y+4=0（k＞0）上一动点，PA，PB是圆C：x2+y2﹣2y=0的两条切线，A，B是切点，若四边形PACB的最小面积是2，则k的值为（ ） A．3

B．

C．

D．2

【考点】直线和圆的方程的应用．

【分析】先求圆的半径，四边形PACB的最小面积是2，转化为三角形PBC的面积是1，求出切线长，再求PC的距离也就是圆心到直线的距离，可解k的值． 【解答】解：圆C：x2+y2﹣2y=0的圆心（0，1），半径是r=1，

由圆的性质知：S四边形PACB=2S△PBC，四边形PACB的最小面积是2， ∴S△PBC的最小值=1=rd（d是切线长）∴d最小值=2

圆心到直线的距离就是PC的最小值，∵k＞0，∴k=2 故选D．

8．已知平面向量A．若C．若

满足

（x，y∈R），且

，．（ ）

B．若，则x＞0，y＞0 ，则x＜0，y＜0 D．若

，则x＜0，y＜0 ，则x＞0，y＞0

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【考点】平面向量数量积的运算．

【分析】运用排除法解决，由?＞0， ?＞0，若?＜0，可举=（1，1），=（﹣2，1），=（0，1），加以验证；若?＞0，可举=（1，0），=（2，1），=（1，1），加以验证，即可得到答案．

【解答】解：作为选择题，可运用排除法． 由?＞0， ?＞0，若?＜0， 可举=（1，1），=（﹣2，1），=（0，1）， 则?=1＞0， ?=1＞0， ?=﹣1＜0，

由=x+y，即有0=x﹣2y，1=x+y，解得x=，y=，

则可排除B； 若?＞0， 可举=（1，0），=（2，1），=（1，1）， 则?=1＞0， ?=3＞0， ?=2＞0，

由=x+y，即有1=x+2y，1=y，解得x=﹣1，y=1， 则可排除C，D． 故选：A．

二、填空题：本大题7小题，9-12题每空3分，13-15每空4分，共36分，把答案填在题中的横线上．

9．已知直线l1：y=ax+2a与直线l2：ay=（2a﹣1）x﹣a，若l1∥l2，则a= 1 ；若l1⊥l2则a= 0 ．

【考点】直线的一般式方程与直线的垂直关系；直线的一般式方程与直线的平行关系． 【分析】（1）对a分类讨论，利用两条直线相互平行的充要条件即可得出． （2）对a分类讨论，利用两条直线相互垂直的充要条件即可得出． 【解答】解：（1）当a=0时，两条直线分别化为：y=0，﹣x=0，不满足l1∥l2，舍去； 当a≠0时，两条直线分别化为：y=ax+2a，y=

x﹣1，∵l1∥l2，∴

，2a≠﹣

1．解得a=1．

综上可得：l1∥l2，则a=1．

（2）当a=0时，两条直线分别化为：y=0，﹣x=0，此时满足l1⊥l2，∴a=0； 当a≠0时，两条直线分别化为：y=ax+2a，y=得a=0，舍去．

综上可得：l1⊥l2，则a=0． 故答案分别为：a=1；a=0． 10．设函数

最小值为 ﹣ ．

【考点】三角函数的最值；三角函数的周期性及其求法． 【分析】由条件利用正弦函数的周期性求得函数的最小正周期，再利用正弦函数的定义域和值域，求得它的最小值．

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x﹣1，∵l1⊥l2，∴a

=﹣1，解

，则该函数的最小正周期为 π ，f（x）在的

【解答】解：根据函数当x∈[0，为﹣， 故答案为：π，

11．规定记号“△”表示一种运算，即a

． ]时，2x﹣

∈[﹣

，

，可得则该函数的最小正周期为]，故当2x﹣

=﹣

=π，

时，f（x）取得最小值

．若1△k=3，则

函数f（x）=k△x的定义域是 （0，+∞） ，值域是 （1，+∞） ． 【考点】函数的值域．

【分析】根据“△”运算的定义，由1△k=3便可求出k=1，从而得出f（x）=，从而便可得出f（x）的定义域为（0，+∞），这样便可由x＞0得出f（x）的范围，即得出f（x）的值域．

【解答】解：根据条件，； ∴； ∴k=k2﹣4k+4；

解得k=1，或4（舍去）； ∴； ∴f（x）的定义域为（0，+∞）； ∵x＞0； ∴； ∴； 即f（x）＞1；

∴f（x）的值域为（1，+∞）． 故答案为：（0，+∞），（1，+∞）．

12．设，，为平面向量，若最小值为 3 ，

的最小值为

， ．

，

，

，则

的

【考点】平面向量数量积的运算． 【分析】如图所示，建立直角坐标系．，不妨设=（1，0），由，，不妨设=（1，m），=（2，n），利用向量的模的计算即可求出的最小值，再利用数量积运算即可得出的最小值．

【解答】解：如图所示，建立直角坐标系． ∵，不妨设=（1，0）， ∵，， 不妨设=（1，m），=（2，n）． ∴+=（3，m+n）， ∴|+|2=9+（m+n）2， ∴的最小值为3，

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∴﹣=（﹣1，m﹣n）， ∵

，

∴1+（m﹣n）2=4，

∴（m+n）2=3+4mn≥0， ∴mn≥﹣，当且仅当m=﹣n=±∴

=2+mn≥2﹣=．

时取等号，

故答案为：3，

13．已知F1（﹣1，0），F2（1，0）是椭圆C的两个焦点，过F2且垂直x轴的直线交C于A，B两点，且|AB|=3，则C的方程为 【考点】椭圆的简单性质． 【分析】设椭圆的方程为

=1，（a＞b＞0），根据题目条件得出a2﹣b2=1，①，

=1 ．

=1，②由①②联合求解即可．

【解答】解： 设椭圆的方程为

=1，（a＞b＞0）

∵可得c==1，

∴a2﹣b2=1，①AB经过右焦点F2且垂直于x轴， 且|AB|=3，

A（1，），（1，﹣），

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代入方程得出： =1，②

联合①②得出a2=4，b2=3， ∴椭圆C的方程为：

=1，

故答案为：

=1

14．已知双曲线C：

=1（a＞0，b＞0）的左、右焦点分别为F1，F2，过点F2作

，则双曲线C的

双曲线C的一条渐近线的垂线，垂足为H，交双曲线于点M且离心率为 ．

【考点】双曲线的简单性质．

【分析】根据题意可表示出渐近线方程，进而可知F2H的斜率，设出H的坐标代入渐近线方程求得x的表达式，则H的坐标可知，进而求得M的表达式，代入双曲线方程整理求得a和c的关系式，进而求得离心率．

【解答】解：设F2（c，0）相应的渐近线：y=x， 则根据直线F2H的斜率为﹣，设H（x， x）， 将y=﹣（x﹣c）代入双曲线渐近线方程求出x=则M（

，

），

，

由，可得M（，），

即有M（，），

把M点坐标代入双曲线方程=1，

即﹣=1，整理可得c=a，

即离心率e==故答案为：

．

．

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