概率论与数理统计期末考试试卷答案(8)

解：似然函数

1n L??()ei?12??n?xi22???nn1n2?1n2??xi exp???xi? lnL??ln?2???ln??nii?1222??1?2??2??1?1n2dlnLn1n2????2?xi ???xi

ni?1d?2?2?i?1

八（1）、从某同类零件中抽取9件，测得其长度为（ 单位：mm ）： 6.0 5.7 5.8 6.5 7.0 6.3 5.6 6.1 5.0

设零件长度X服从正态分布N (μ,1)。求μ的置信度为0.95的置信区间。(已知：t0.05(9)=2.262, t0.05(8)=2.306, U0.025?1.960 ) 、解：由于零件的长度服从正态分布,所以U?x??~N(0,1) P{|U|?u0.025}?0.95

?/n所以?的置信区间为(x?u0.025?n,x?u0.025?n) 经计算 x?19?xi?19i?6

1 ?的置信度为0.95的置信区间为 (6?1.96?1 即(5.347，6.653) 3,6?1.96?3)八（2）、某车间生产滚珠，其直径X ～N (?, 0.05)，从某天的产品里随机抽出9个量得直径如下（单位：毫米 ）： 14.6 15.1 14.9 14.8 15.2 15.1 14.8 15.0 14.7

若已知该天产品直径的方差不变，试找出平均直径?的置信度为0.95的置信区间。

(已知：t0.05(9)=2.262, t0.05(8)=2.306, U0.025?1.960 )

解：由于滚珠的直径X服从正态分布,所以U?x??~N(0,1) P{|U|?u0.025}?0.95

?/n所以?的置信区间为：(x?u0.025?n,x?u0.025?n) 经计算 x?19?xi?19i?14.911

?的置信度为0.95的置信区间为 (14.911?1.96?0.053,14.911?1.96?0.053) 即(14.765，15.057)

2八（3）、工厂生产一种零件,其口径X(单位:毫米)服从正态分布N(?,?),现从某日生产的零件中随机抽出9个,分别测得其口径

如下:

14.6 14.7 15.1 14.9 14.8 15.0 15.1 15.2 14.7

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已知零件口径X的标准差??0.15，求?的置信度为0.95的置信区间。

(已知：t0.05(9)=2.262, t0.05(8)=2.306, U0.025?1.960 )

解：由于零件的口径服从正态分布,所以U?x??~N(0,1) P{|U|?u0.025}?0.95

?/n所以?的置信区间为：(x?u0.025?n,x?u0.025?n) 经计算 x?19?xi?19i?14.9

0.15 ? 的置信度为0.95的置信区间为 (14.9?1.96?0.15 即(14.802 ,14.998) 3,14.9?1.96?3)八（4）、随机抽取某种炮弹9发做实验，测得炮口速度的样本标准差S=3(m/s)，设炮口速度服从正态分布，求这种炮弹的炮口速

度的方差?的置信度为0.95的置信区间。

2(已知：?0.0252(8)?17.535, ?0.9752(8)?2.18；?0.0252(9)?19.02, ?0.9752(9)?2.7)

因为炮口速度服从正态分布，所以

W?(n?1)S2?2~?2(n?1) P{?0.0252(8)?W??0.9752(8)}?0.95

?(n?1)S2(n?1)S2??的置信区间为：???2?n?1?,?2?n?1???

0.975?0.025?2

?8?98?9??2的置信度0.95的置信区间为 ?,? 即?4.106,33.028?

17.5352.180??八（5）、设某校女生的身高服从正态分布，今从该校某班中随机抽取9名女生，测得数据经计算如下：x?162.67cm, s?4.20cm。

求该校女生身高方差?的置信度为0.95的置信区间。

2

(已知：?0.0252(8)?17.535, ?0.9752(8)?2.18；?0.0252(9)?19.02, ?0.9752(9)?2.7)

解：因为学生身高服从正态分布，所以

W?(n?1)S2?2~?2(n?1) P{?0.0252(8)?W??0.9752(8)}?0.95

?(n?1)S2?8?4.228?4.22?(n?1)S2?2?的置信区间为：????2?n?1?,?2?n?1??? 的置信度0.95的置信区间为 ?17.535,2.180? 即?8.048,64.734?

0.975???0.025?2

八（6）、一批螺丝钉中,随机抽取9个, 测得数据经计算如下：x?16.10cm, s?2.10cm。设螺丝钉的长度服从正态分布，试求

该批螺丝钉长度方差?的置信度为0.95的置信区间。

2

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(已知：?0.0252(8)?17.535, ?0.9752(8)?2.18；?0.0252(9)?19.02, ?0.9752(9)?2.7)

解：因为螺丝钉的长度服从正态分布，所以

W?(n?1)S2?2~?2(n?1) P{?0.0252(8)?W??0.9752(8)}?0.95

?(n?1)S2(n?1)S2??的置信区间为：???2?n?1?,?2?n?1???

0.975?0.025?2?8?2.1028?2.102??的置信度0.95的置信区间为 ?,? 即?2.012,16.183?

2.180??17.53522八（7）、从水平锻造机的一大批产品随机地抽取20件，测得其尺寸 的平均值x?32.58，样本方差S?0.097。假定该产品的尺

2

2

寸X服从正态分布N(?,?2),其中?与?均未知。求?的置信度为0.95的置信区间。

由于该产品的尺寸服从正态分布，(已知：?0.0252(20)?34.17, ?0.9752(20)?9.591；?0.0252(19)?32.852, ?0.9752(19)?8.907)解：

所以

W?(n?1)S2?2~?2(n?1) P{?0.0252(19)?W??0.9752(19)}?0.95

?(n?1)S2(n?1)S2??的置信区间为：???2?n?1?,?2?n?1???

0.975?0.025?2

?19?0.09719?0.097??2的置信度0.95的置信区间为 ?,? 即?0.056,0.207?

32.8528.907??八（8）、已知某批铜丝的抗拉强度X服从正态分布N(?,?)。从中随机抽取9根，经计算得其标准差为8.069。求?的置信度为

0.95的置信区间。

2222（已知：?0.025(9)?19.023, ?0.975(9)?2.7，?0.025(8)?17.535, ?0.975(8)?2.180）

22

解：由于抗拉强度服从正态分布所以，

W?(n?1)S2?2~?2(n?1) P{?0.0252(8)?W??0.9752(8)}?0.95

(n?1)S2(n?1)S2?的置信区间为：(2,2)

?0.025?n?1??0.975n?1??2

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?8?8.06928?8.0692??的置信度为0.95的置信区间为?,? ，即 ?29.705,238.931?

2.180??17.5352

八（9）、设总体X ～N(?,?2)，从中抽取容量为16的一个样本，样本方差S?0.07，试求总体方差的置信度为0.95的置信区

间。

2(已知：?0.0252(16)?28.845, ?0.9752(16)?6.908；?0.0252(15)?27.488, ?0.9752(15)?6.262)解：由于 X～N??,?2?，所以

W?(n?1)S2~?2(n?1) P{?0.0252(15)?W??0.9752(15)}?0.95

?2(n?1)S2(n?1)S2?的置信区间为：(2,2)

?0.025?n?1??0.975?n?1?2

?15?0.0715?0.07??2的置信度0.95的置信区间为 ?,?，即?0.038,0.168?

6.262??27.488八（10）、某岩石密度的测量误差X服从正态分布N(?,?2)，取样本观测值16个，得样本方差S?0.04，试求?的置信度为95%

的置信区间。

22

(已知：?0.0252(16)?28.845, ?0.9752(16)?6.908；?0.0252(15)?27.488, ?0.9752(15)?6.262)解：由于 X ~ N??,?2?，所以

W?(n?1)S2~?2(n?1) P{?0.0252(15)?W??0.9752(15)}?0.95

?2(n?1)S2(n?1)S2?的置信区间为：(2,2)

?0.025?n?1??0.975n?1??2

?15?0.0415?0.04??2的置信度0.95的置信区间为：?,? 即?0.022,0.096?

?27.4886.262?九（1）、某厂生产铜丝，生产一向稳定,现从其产品中随机抽取10段检查其折断力，测得

x?287.5, ?(xi?x)2?160.5。假定

i?110铜丝的折断力服从正态分布，问在显著水平??0.1下，是否可以相信该厂生产的铜丝折断力的方差为16？

(已知：?0.052(10)?18.31, ?0.952(10)?3.94; ?0.052(9)?16.9, ?0.952(9)?3.33)

解：待检验的假设是 H0:??16 选择统计量 W?2(n?1)S2?2 在H0成立时 W~?2(9)

P{?20.05(9)?W??20.95(9)}?0.90

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取拒绝域w ={W?16.92,W?3.33} 由样本数据知(n?1)S2?160.5 W?160.5?10.03 16.92?10.03?3.33 16 接受H0，即可相信这批铜丝折断力的方差为16。

九（2）、已知某炼铁厂在生产正常的情况下，铁水含碳量X服从正态分布，其方差为0.03。在某段时间抽测了10炉铁水，测得铁

水含碳量的样本方差为0.0375。试问在显著水平??0.05下，这段时间生产的铁水含碳量方差与正常情况下的方差有无显著差异?

(已知：?0.0252(10)?20.48, ?0.9752(10)?3.25, ?0.0252(9)?19.02, ?0.9752(9)?2.7)

解：待检验的假设是 H0:??0.03 选择统计量 W?2(n?1)S2?2 在H0成立时 W~?2(9)

P{?20.025(9)?W??20.975(9)}?0.95

取拒绝域w ={W?19.023,W?2.700}

由样本数据知 W?(n?1)S2?2?9?0.0375?11.25

0.0319.023?11.25?2.700

接受H0，即可相信这批铁水的含碳量与正常情况下的方差无显著差异。

九（3）、某厂加工一种零件，已知在正常的情况其长度服从正态分布N(?,0.9)，现从一批产品中抽测20个样本，测得样本标准

差S=1.2。问在显著水平??0.1下，该批产品的标准差是否有显著差异？

2(已知：?0.052(19)?30.14, ?0.952(19)?10.12；?0.052(20)?31.41, ?0.952(20)?10.85)

解：待检验的假设是 H0:??0.9 选择统计量 W?(n?1)S2?2 在H0成立时 W~?(19)

2P{?20.05(19)?W??20.95(19)}?0.90

取拒绝域w ={W?30.114,W?10.117}

由样本数据知 W?(n?1)S2?219?1.22??33.778 33.778?30.114 20.9 拒绝H0，即认为这批产品的标准差有显著差异。

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