概率论与数理统计期末考试试卷答案(2)

4、设随机变量X服从参数为?的泊松分布，且已知E[(X?1)(X?2)]?1求?. 解：E(X)?D(X)??， …….2分

E[(X?1)(X?2)]?E(X2?3X?2) ?D(X)?[E(X)]?3E(X)?2?1三、（共18分,每题6分)

2 …….2分

所以?2?2??1?0，得??1. …….1分

1、设总体X~N(52,62),现随机抽取容量为36的一个样本，求样本均值X落入（50.8，53.8）之间的概率.

解：X~N(52,1)， ……….2分

P{50.8?X?53.8} =?(53.8?52)??(50.8?52)

??(1.8)??(?1.2)=0.9641?1?0.8849 ….3分 ?0.849 ……….1分

?Aex, x?0,?X2、设随机变量的分布函数为 F(x)??B, 0?x?1,

??(x?1)1?Ae, x?1.?1求：（1）A , B的值；（2）P{X?}.

3 解：（1）由连续型随机变量分布函数的连续性，得

x?0limF(x)?F(0)，limF(x)?F(1)， ??x?1?A?B即? 解得A?B?0.5 ……….3分 ?B?1?A11 （2）P{X?}?1?F()?1?0.5?0.5 ……….3分

33

6 44页 第页共

3、箱子中有一号袋1个，二号袋2个.一号袋中装1个红球，2个黄 概率论与数理统计B试题 班级 姓名 学号 第 3 页 球，二号袋中装2个红球，1个黄球，今从箱子中任取一袋，从中任取一球，结果为红球，求这个红球是从一号袋中取得的概率. 解：设Ai={从箱子中取到i号袋}，i?1,2

B={抽出的是红球}

P(B)?P(A1)P(B|A1)?P(A2)P(B|A2) ……….2分

?11225???? ……….1分 33339P(A1)P(B|A1)i?12P(A1|B)??P(Ai)P(B|Ai)1 ? ……….3分 5? Ax, 0?x?1，四、（8分） 设随机变量X具有密度函数 f(x)??

?0, 其它.求（1）常数A；（2）X的分布函数.

（1）因为???f(x)dx?1 ……….2分

所以 A?0xdx?1 得 A?2 ……….2分

1???0, x?0,?x（2）F(x)???02xdx, 0?x?1,

??1, x?1.?0, x?0,?=?x2, 0?x?1, ……….4分 ?1, x?1.?

五、（8分）某箱装有100件产品，其中一、二、三等品分别为 60、30、10件，现从中随机抽取一件，记

?1, 若抽到i 等品，Xi?? 求X1，X2的联合分布律.

?0, 没有抽到i 等品. 7 44页 第页共

解：设A1,A2,A3分别表示抽到一、二、三等品，

P(X1?0,X2?0)?P(A3)?0.1，P(X1?1,X2?0)?P(A1)?0.6 P(X1?0,X2?1)?P(A2)?0.3，P(X1?1,X2?1)?0 X1，X2的联合分布律为

X2 X1 0 1 0 1 0.1 0.3 0.6 0.0 ……….8分（每个2分）

六、（10分）设随机变量X和Y的联合概率密度为

?15x2y, 0?x?y?1, f(x,y)??

?0, 其它.（1） 求边缘概率密度；（2）判断随机变量X和Y是否独立.

7、已知随机向量（X，Y）的联合密度函数

?3?xy2,f(x,y)??2??0,0?x?2,0?y?1，则

其他E(X)=4。

38、随机变量X的数学期望EX??，方差DX??2，k、b为常数，则有E(kX?b)= k??b,；D(kX?b)=k2?2。

9、若随机变量X ～N (－2，4)，Y ～N (3，9)，且X与Y相互独立。设Z＝2X－Y＋5，则Z ～ N(-2, 25) 。

?, ??是常数?的两个 无偏 估计量，若D(??)?D(??)，则称??比??有效。 10、?1212121、设A、B为随机事件，且P(A)=0.4, P(B)=0.3, P(A∪B)=0.6，则P(AB)=_0.3__。 2、设X?B(2,p)，Y?B(3,p)，且P{X ≥ 1}=5，则P{Y≥ 1}=19。

9

273、设随机变量X服从参数为2的泊松分布，且Y =3X -2, 则E(Y)=4 。 4、设随机变量X服从[0,2]上的均匀分布，Y=2X+1，则D(Y)= 4/3 。 5、设随机变量X的概率密度是：

?3x2f(x)???00?x?1，且P?X其他????0.784，则

?=0.6 。

6、利用正态分布的结论，有

8 44页 第页共

?1(x2?4x?4)e2?(x?2)22?????dx? 1 。

7、已知随机向量（X，Y）的联合密度函数

?3?xy2,f(x,y)??2??0,0?x?2,0?y?1，则

其他E(Y)= 3/4 。

8、设（X，Y）为二维随机向量，D(X)、D(Y)均不为零。若有常数a>0与b使

P?Y??aX?b??1，则X与Y的相关系数?XY?-1 。

9、若随机变量X ～N (1，4)，Y ～N (2，9)，且X与Y相互独立。设Z＝X－Y＋3，则Z ～ N (2, 13) 。

10、设随机变量X～N (1/2，2)，以Y表示对X的三次独立重复观察中“X?1/2”出现的次数，则P{Y?2}= 3/8 。 1、设A，B为随机事件，且P(A)=0.7，P(A－B)=0.3，则P(A?B)?0.6 。

11112、四个人独立地破译一份密码，已知各人能译出的概率分别为,,,，则密码能被译出的概率是 11/24 。

5436

5、设随机变量X服从参数为?的泊松分布，且3P?X?2??P?X?4?，则?= 6 。

6、设随机变量X ~ N (1, 4)，已知Φ(0.5)=0.6915，Φ(1.5)=0.9332，则PX?2? 0.6247 。

??7、随机变量X的概率密度函数f(x)?1?e?x2?2x?1，则E(X)= 1 。

8、已知总体X ~ N (0, 1)，设X1，X2，?，Xn是来自总体X的简单随机样本，则

?X

i?1

n

2

i

~x(n)。

29、设T服从自由度为n的t分布，若PT????，则P?T???????a。 2xy,10、已知随机向量（X，Y）的联合密度函数f(x,y)????0,0?x?2,0?y?1，则E(X)= 4/3 。

其他1、设A，B为随机事件，且P(A)=0.6, P(AB)= P(AB), 则P(B)= 0.4 。 2、设随机变量X与Y相互独立，且

XP?11Y，

0.50.5P?11，则P(X =Y)=_ 0.5_。

0.50.53、设随机变量X服从以n, p为参数的二项分布，且EX=15，DX=10，则n= 45 。

4、设随机变量X~N(?,?)，其密度函数f(x)?216?e?x2?4x?46，则?= 2 。

5、设随机变量X的数学期望EX和方差DX>0都存在，令Y?(X?EX)/DX，则DY= 1 。

9 44页 第页共

6、设随机变量X服从区间[0，5]上的均匀分布，Y服从??5的指数分布，且X，Y相互独立，则(X, Y)的联合密度函数f (x, y)=

?e?5y??00?x?5,y?0其它。

7、随机变量X与Y相互独立，且D(X)=4，D(Y)=2，则D(3X －2Y )＝ 44。 8、设X1,X2,?,Xn是来自总体X ~ N (0, 1)的简单随机样本，则

?(Xi?1ni?X)2服从的分布为x2(n?1)。

9、三个人独立地向某一目标进行射击，已知各人能击中的概率分别为,111,，则目标能被击中的概率是3/5 。 543?4xe?2y,0?x?1,y?010、已知随机向量(X, Y)的联合概率密度f(x,y)??，

其它?0则EY = 1/2 。

1、设A,B为两个随机事件，且P(A)=0.7, P(A-B)=0.3，则P(AB)=__0.6 __。 2、设随机变量X的分布律为

Xp01211，且X与Y独立同分布，则随机变量Z ＝max{X,Y }的分布律为ZP2014134。

3、设随机变量X ～N (2，?)，且P{2 < X <4}＝0.3，则P{X < 0}＝0.2 。

?24、设随机变量X 服从??2泊松分布，则P?X?1?=1?e。

25、已知随机变量X的概率密度为fX(x)，令Y??2X，则Y的概率密度fY(y)为

1yfX(?)。 226、设X是10次独立重复试验成功的次数，若每次试验成功的概率为0.4，则D(X)? 2.4 。

7、X1，X2，?，Xn是取自总体N??,??的样本，则

2?(Xi?1ni?X)2?2～x(n?1)。

2?4xe?2y,0?x?1,y?08、已知随机向量(X, Y)的联合概率密度f(x,y)??，则EX = 2/3 。

其它?0??9、称统计量?为参数?的 无偏 估计量，如果E(?)=?。

10、概率很小的事件在一次试验中几乎是不可能发生的，这个原理称为 小概率事件原理。 1、设A、B为两个随机事件，若P(A)=0.4，P(B)=0.3，P(A?B)?0.6，则P(AB)? 0.3 。 2、设X是10次独立重复试验成功的次数，若每次试验成功的概率为0.4，则E(X)? 18.4 。

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