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课时分层作业19 空间向量的基本定理(2)

来源:网络收集 时间:2018-12-22 下载这篇文档 手机版
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图3-1-19

→→→→(1)AP;(2)AM;(3)AN;(4)AQ.

【导学号:33242251】

[解] 连接AC,AD′,AC′(图略). →1→→(1)AP=2(AC+AA′) 1→→→=2(AB+AD+AA′) 1

=2(a+b+c). →1→→(2)AM=(AC+AD′)

21→→→=2(AB+2AD+AA′) 11=2a+b+2c. →1→→(3)AN=2(AC′+AD′)

1→→→→→=2[(AB+AD+AA′)+(AD+AA′)] 1→→→=2(AB+2AD+2AA′) 1

=2a+b+c. →→→(4)AQ=AC+CQ →4→→=AC+5(AA′-AC) 1→4→=5AC+5AA′ 1→1→4→=5AB+5AD+5AA′

6/6

114=5a+5b+5c.

[能力提升练]

1.如图3-1-20,空间四边形ABCD中,点G为△BCD的重心,E,F,H分→1→1→

别为边CD,AD和BC的中点,则AG+3BE+2CA的化简结果为( )

图3-1-20

A.AF →C.AE

A [∵G是△BCD的重心, →1→→1→∴|GE|=3|BE|,∴GE=3BE. →1→又EF=2CA,

→1→→→→→→→∴AG+3BE=AG+GE=AE,AE+EF=AF, →1→1→→从而AG+3BE+2CA=AF.]

→3→1→1→

2.A、B、C不共线,对空间任意一点O,若OP=4OA+8OB+8OC,则P、A、B、C四点( )

【导学号:33242252】

A.不共面 C.不一定共面 →3→1→1→B [OP=4OA+8OB+8OC 3→1→→1→→=4OA+8(OA+AB)+8(OA+AC)

7/7

→B.AH →D.CF

B.共面 D.无法判断

→1→1→=OA+8AB+8AC, →→1→1→∴OP-OA=8AB+8AC, →1→1→∴AP=8AB+8AC,

由共面的充要条件知P、A、B、C四点共面.]

3.已知A,B,C三点共线,则对空间任一点O,存在三个不为0的实数λ,→→→

m,n,使λOA+mOB+nOC=0,那么λ+m+n的值为________.

0 [∵A、B、C三点共线. →→

∴存在唯一实数k使AB=kAC, →→→→即OB-OA=k(OC-OA), →→→

∴(k-1)OA+OB-kOC=0. →→→

又λOA+mOB+nOC=0,

则λ=k-1,m=1,n=-k,所以λ+m+n=0.]

→1→→→→→

4.在平行六面体ABCD-A1B1C1D1中,AM=2MC,A1N=2ND.设AB=a,AD→→

=b,AA1=c,试用a,b,c表示MN为________.

111

-3a+3b+3c [如图所示,连接AN, →→→则MN=AN-AM →→1→=AA1+A1N-3AC

8/8

→2→1→→=AA1+3A1D-3(AB+BC) 1→→→2→→

=AA1+3(AD-AA1)-3(AB+AD) 21

=c+3(b-c)-3(a+b) 111=-3a+3b+3c.]

5.如图3-1-21所示,在平行六面体ABCD-A1B1C1D1中,E,F分别在B1B12

和D1D上,且BE=3BB1,DF=3DD1.

(1)证明:A,E,C1,F四点共面;

→→→→

(2)若EF=xAB+yAD+zAA1,求x+y+z的值.

【导学号:33242253】

图3-1-21

→→→→

[解] (1)证明:因为AC1=AB+AD+AA1 →→1→2→=AB+AD+3AA1+3AA1 ?→1→??→2→?=?AB+3AA1?+?AD+3AA1? ????→→→→→→=AB+BE+AD+DF=AE+AF, 所以A、E、C1、F四点共面. →→→

(2)因为EF=AF-AE →→→→=AD+DF-(AB+BE)

9/9

=AD→+2→→-1→3DD1-AB3BB1 =-AB→+AD→+1→3AA1. 所以x=-1,y=1,z=1

3. 所以x+y+z=1

3. 10/10

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