课时分层作业19 空间向量的基本定理(2)

图3-1-19

→→→→(1)AP；(2)AM；(3)AN；(4)AQ.

【导学号：33242251】

[解] 连接AC，AD′，AC′(图略)． →1→→(1)AP＝2(AC＋AA′) 1→→→＝2(AB＋AD＋AA′) 1

＝2(a＋b＋c)． →1→→(2)AM＝(AC＋AD′)

21→→→＝2(AB＋2AD＋AA′) 11＝2a＋b＋2c. →1→→(3)AN＝2(AC′＋AD′)

1→→→→→＝2[(AB＋AD＋AA′)＋(AD＋AA′)] 1→→→＝2(AB＋2AD＋2AA′) 1

＝2a＋b＋c. →→→(4)AQ＝AC＋CQ →4→→＝AC＋5(AA′－AC) 1→4→＝5AC＋5AA′ 1→1→4→＝5AB＋5AD＋5AA′

6/6

114＝5a＋5b＋5c.

[能力提升练]

1.如图3-1-20，空间四边形ABCD中，点G为△BCD的重心，E，F，H分→1→1→

别为边CD，AD和BC的中点，则AG＋3BE＋2CA的化简结果为( )

图3-1-20

→

A.AF →C.AE

A [∵G是△BCD的重心， →1→→1→∴|GE|＝3|BE|，∴GE＝3BE. →1→又EF＝2CA，

→1→→→→→→→∴AG＋3BE＝AG＋GE＝AE，AE＋EF＝AF， →1→1→→从而AG＋3BE＋2CA＝AF.]

→3→1→1→

2．A、B、C不共线，对空间任意一点O，若OP＝4OA＋8OB＋8OC，则P、A、B、C四点( )

【导学号：33242252】

A．不共面 C．不一定共面 →3→1→1→B [OP＝4OA＋8OB＋8OC 3→1→→1→→＝4OA＋8(OA＋AB)＋8(OA＋AC)

7/7

→B．AH →D．CF

B．共面 D．无法判断

→1→1→＝OA＋8AB＋8AC， →→1→1→∴OP－OA＝8AB＋8AC， →1→1→∴AP＝8AB＋8AC，

由共面的充要条件知P、A、B、C四点共面．]

3．已知A，B，C三点共线，则对空间任一点O，存在三个不为0的实数λ，→→→

m，n，使λOA＋mOB＋nOC＝0，那么λ＋m＋n的值为________．

0 [∵A、B、C三点共线． →→

∴存在唯一实数k使AB＝kAC， →→→→即OB－OA＝k(OC－OA)， →→→

∴(k－1)OA＋OB－kOC＝0. →→→

又λOA＋mOB＋nOC＝0，

则λ＝k－1，m＝1，n＝－k，所以λ＋m＋n＝0.]

→1→→→→→

4．在平行六面体ABCD-A1B1C1D1中，AM＝2MC，A1N＝2ND.设AB＝a，AD→→

＝b，AA1＝c，试用a，b，c表示MN为________．

111

－3a＋3b＋3c [如图所示，连接AN， →→→则MN＝AN－AM →→1→＝AA1＋A1N－3AC

8/8

→2→1→→＝AA1＋3A1D－3(AB＋BC) 1→→→2→→

＝AA1＋3(AD－AA1)－3(AB＋AD) 21

＝c＋3(b－c)－3(a＋b) 111＝－3a＋3b＋3c.]

5．如图3-1-21所示，在平行六面体ABCD-A1B1C1D1中，E，F分别在B1B12

和D1D上，且BE＝3BB1，DF＝3DD1.

(1)证明：A，E，C1，F四点共面；

→→→→

(2)若EF＝xAB＋yAD＋zAA1，求x＋y＋z的值．

【导学号：33242253】

图3-1-21

→→→→

[解] (1)证明：因为AC1＝AB＋AD＋AA1 →→1→2→＝AB＋AD＋3AA1＋3AA1 ?→1→??→2→?＝?AB＋3AA1?＋?AD＋3AA1? ????→→→→→→＝AB＋BE＋AD＋DF＝AE＋AF， 所以A、E、C1、F四点共面． →→→

(2)因为EF＝AF－AE →→→→＝AD＋DF－(AB＋BE)

9/9

＝AD→＋2→→－1→3DD1－AB3BB1 ＝－AB→＋AD→＋1→3AA1. 所以x＝－1，y＝1，z＝1

3. 所以x＋y＋z＝1

3. 10/10

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