课时分层作业19 空间向量的基本定理

课时分层作业(十九) 空间向量的基本定

理

(建议用时：45分钟)

[基础达标练]

1．下列命题中正确的个数是 ( )

①若a与b共线，b与c共线，则a与c共线． ②向量a、b、c共面，即它们所在的直线共面．

③如果三个向量a，b，c不共面，那么对于空间任意一个向量p存在有序实数组{x，y，z}，使得p＝xa＋yb＋zc.

④若a、b是两个不共线的向量，而c＝λa＋μb(λ、μ∈R且λμ≠0)，则{a，b，，c}构成空间的一个基底．

A．0 B．1 C．2 D．3 B [①中当b＝0时，a与c不一定共线，故①错误；

②中a，b，c共面时，它们所在的直线平行于同一平面不一定在同一平面内，故②错误；

③正确；

④不对，a，b不共线．当c＝λa＋μb时，a、b、c共面．]

2．已知向量{a，b，c}是空间的一个基底，p＝a＋b，q＝a－b，一定可以与向量p，q构成空间的另一个基底的是( )

A．a C．c

B．b D．无法确定

11

C [∵a＝2p＋2q，∴a与p、q共面， 11

∵b＝2p－2q，∴b与p、q共面， ∵不存在λ、μ，使c＝λp＋μq，

1/1

∴c与p、q不共面，故{c，p，q}可作为空间的一个基底，故选C.] →→→

3．如图3-1-17所示，空间四边形OABC中，OA＝a，OB＝b，OC＝c，点→→→

M在OA上，且OM＝2MA，N为BC中点，则MN等于( )

【导学号：33242249】

图3-1-17

121A.2a－3b＋2c 211B.－3a＋2b＋2c 112C.2a＋2b－3c 221D.3a＋3b－2c

2→→→→1→→

B [MN＝ON－OM＝2(OB＋OC)－3OA 12211

＝2(b＋c)－3a＝－3a＋2b＋2c.所以应选B.]

4．设O-ABC是四面体，G1是△ABC的重心，G是OG1上的一点，且OG→→→→

＝3GG1，若OG＝xOA＋yOB＋zOC，则(x，y，z)为( )

?111?A.?4，4，4? ???111?C.?3，3，3? ??

?333?B．?4，4，4?

???222?D．?3，3，3?

??

A [连接AG1交BC于E，则E为BC中点， →1→→

AE＝2(AB＋AC)

2/2

1→→→＝2(OB－2OA＋OC)， →2→AG1＝3AE

1→→→＝3(OB－2OA＋OC)， →→→→∵OG＝3GG1＝3(OG1－OG)， 3

∴OG＝4OG1，

→3→3→→∴OG＝4OG1＝4(OA＋AG1) 3→1→2→1→＝4(OA＋3OB－3OA＋3OC) 1→1→1→

＝4OA＋4OB＋4OC，故选A.]

→→→

5．在正方体ABCD-A1B1C1D1中，给出以下向量表达式：①(A1D1－A1A)－AB；→→→→→→→→→

②(BC＋BB1)－D1C1；③(AD－AB)－2DD1；④(B1D1＋A1A)＋DD1.其中能够化简→

为向量BD1的是( )

A．①② C．③④ [答案] A

6．下列命题是真命题的是________(填序号)．

→→

①若A，B，C，D在一条直线上，则AB与CD是共线向量； →→

②若A，B，C，D不在一直线上，则AB与CD不是共线向量；

B．②③ D．①④

3/3

→→

③若向量AB与CD是共线向量，则A，B，C，D四点必在一条直线上； →→

④若向量AB与AC是共线向量，则A，B，C三点必在一条直线上． →→

①④ [①为真命题，A，B，C，D在一条直线上，向量AB，CD的方向相同→→

或相反，因此AB与CD是共线向量；②为假命题，A，B，C，D不在一条直线上，→→→→

则AB，CD的方向不确定，不能判断AB与CD是否为共线向量；③为假命题，因→→

为AB，CD两个向量所在的直线可能没有公共点，所以A，B，C，D四点不一定→→→

在一条直线上；④为真命题，因为AB，AC两个向量所在的直线有公共点A，且AB→

与AC是共线向量，所以A，B，C三点共线．故填①④.]

7．已知空间的一个基底{a，b，c}，m＝a－b＋c，n＝xa＋yb＋c，若m与n共线，则x＝________，y＝________.

【导学号：33242250】

1 －1 [因为m与n共线，所以存在实数λ，使m＝λn，即a－b＋c＝λxa＋λyb＋λc，

1＝λx，??

于是有?－1＝λy，

??1＝λ，

??x＝1，

解得?]

??y＝－1.

→→→

8．如图3-1-18，点M为OA的中点，{OA，OC，OD}为空间的一个基底，→→→→

DM＝xOA＋yOC＋zOD，则有序实数组(x，y，z)＝________.

图3-1-18

4/4

→→→1→→?1?

?2，0，－1? [DM＝OM－OD＝OA－OD， 所以有序实数组(x，y，z)＝

2???1?

?2，0，－1?.] ??

→→

9．已知{e1，e2，e3}是空间的一个基底，且OA＝e1＋2e2－e3，OB＝－3e1＋→→→→

e2＋2e3，OC＝e1＋e2－e3，试判断{OA，OB，OC}能否作为空间的一个基底．

→→→

[解] 假设OA，OB，OC共面，

→→→

由向量共面的充要条件知，存在实数x，y，使得OA＝xOB＋yOC成立， 即e1＋2e2－e3＝x(－3e1＋e2＋2e3)＋y(e1＋e2－e3) ＝(－3x＋y)e1＋(x＋y)e2＋(2x－y)e3. 因为{e1，e2，e3}是空间的一个基底， 所以e1，e2，e3不共面， －3x＋y＝1，??

所以?x＋y＝2，

??2x－y＝－1，

此方程组无解．

→→→

即不存在实数x，y，使得OA＝xOB＋yOC成立， →→→

所以OA，OB，OC不共面．

→→→

故{OA，OB，OC}能作为空间的一个基底．

→→→

10．如图3-1-19所示，在平行六面体ABCD-A′B′C′D′中，AB＝a，AD＝b，AA′＝c，P是CA′的中点，M是CD′的中点，N是C′D′的中点，点Q在CA′上，且CQ∶QA′＝4∶1，用基底{a，b，c}表示以下向量：

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