（Ⅱ）假设存在符合题意的直线l ，其方程为y=－2x + t ，
由，得y2 ＋2 y －2 t=0.
因为直线l与抛物线C有公共点，所以得Δ=4+8 t，解得t ≥－1/2 .
另一方面，由直线OA与l的距离d=，可得=，解得t=±1.
因为－1?[-,＋∞），1∈[－，＋∞），所以符合题意的直线l 存在，其方程为2x+y-1
=0.
20.本小题主要考察直线与直线、直线与平面的位置关系，以及几何体的体积、几何概念等基础知识，考察空间想象能力、推理论证能力、运算求解能力，考察函数与方程思想、形数结合思想、化归与转化思想、必然与或然思想。满分12分 解法一：
（I） 证明：在长方体ABCD－A1B1C1D1 中，AD∥A1 D1
又∵EH∥A1 D1 ，∴AD∥EH. ∵AD￠平面EFGH EH 平面EFGH
∴AD//平面EFGH.
2
（II） 设BC=b，则长方体ABCD－A1B1C1D1 的体积V=AB·AD·AA1 =2ab，
几何体EB1F-HC1G的体积V1 =（1/2EB1 ·B1F）·B1C1 =b/2·EB1 ·B1 F ∵EB1 + B1 F=a
22
2
2
∴EB1 + B1 F ≤ （EB1 + B1 F ）/2 = a/ 2,当且仅当EB1 =B1 F=
成立 从而V1 ≤ a2b /4 .
2222
/2 a时等号
故 p=1-V1/V ≥
解法二：
（I） 同解法一
7/8
（II） 设BC=b，则长方体ABCD－A1B1C1D1 的体积V=AB·AD·AA1 =2a2b ，
几何体EB1F-HC1G的体积
V1=（1/2 EB1 ·B1 F）·B1C1 =b/2 EB1 ·B1 F 设∠B1EF=θ（0°≤θ≤90°），则EB1 = a cosθ，B1 F =a sinθ 故EB1 ·B1 F = a sinθcosθ= 成立. 从而
2
，当且仅当sin 2θ=1即θ=45°时等号
∴p=1- V1/V≥=7/8，当且仅当sin 2θ=1即θ=45°时等号成立.
所以，p的最小值等于7/8
21.本小题主要考察解三角形、二次函数等基础知识，考察推断论证能力、抽象概括能力、运算求解能力、应用意识，考察函数与方程思想、数形结合思想、化归与转化思想.满分12分.
解法一：（I）设相遇时小艇的航行距离为S海里，则 S= =
=
故t=1/3时，S min = 即，小艇以30
，v= =30
海里/小时的速度航行，相遇时小艇的航行距离最小
2
2
2
（Ⅱ）设小艇与轮船在B处相遇
由题意可知，（vt） =20 +（30 t）-2·20·30t·cos（90°-30°）， 化简得：v=+900 =400由于0＜t≤1/2，即1/t ≥2,
所以当=2时，
t12
+675
v取得最小值1013，
即小艇航行速度的最小值为1013海里/小时。 （Ⅲ）由（Ⅱ）知v?22400t2?600t?900，设
21t?u(u?0)，
于是400u?600u?900?v?0。（*）
小艇总能有两种不同的航行方向与轮船相遇，等价于方程（*）应有两个不等正根，即：
22??600?1600(900?v)?0,解得153?v?30。 ?2??900?v?0.所以v的取值范围是(153,30)。 解法二：
（Ⅰ）若相遇时小艇的航行距离最小，又轮船沿正东方向匀速行驶，则小艇航行方向为正北方向。
设小艇与轮船在C处相遇。
在Rt?OAC中，OC?20cos30?103，
AC?20sin30?10。
??又AC?30t,OC?vt 此时，轮船航行时间t?1030?13，v?10313?303。
即，小艇以303海里/小时的速度行驶，相遇时小艇的航行距离最小。 （Ⅱ）同解法一 （Ⅲ）同解法一
22. 本小题主要考察函数、导数等基础知识，考察推力论证能力、抽象概况能力、运算求
解能力，考察函数与方程思想、数形结合思想、化归与转换思想、分类与整合思想。满分14分。 解法一：
?f'(0)?3?a?3（Ⅰ）由f'(x)?x?2x?a及题设得?即?。
b??2f(0)??2??2（Ⅱ）（ⅰ）由g(x)?13x?x?3x?2?32mx?1
得g'(x)?x2?2x?3?m(x?1)2。
?g(x)是[2,??)上的增函数， ?g'(x)?0在[2,??)上恒成立，
即x?2x?3?2m(x?1)2?0在[2,??)上恒成立。
设(x?1)?t。
?x?[2,??),?t?[1,??)，
2即不等式t?2?mt?0在[1,??)上恒成立
当m?0时，不等式t?2?当m?0时，设y?t?2?因为y'?1?mt2mtmt?0在[1,??)上恒成立。
，t?[1,??)
mt?0，所以函数y?t?2?在[1,??)上单调递增，
因此ymin?3?m。
?ymin?0,?3?m?0，即m?3。
又m?0，故0?m?3。 综上，m的最大值为3。 （ⅱ）由（ⅰ）得g(x)?证明如下：
?g(x)?13x?x?3x?2?1333213x?x?3x?2?323x?1，其图像关于点Q(1,)成中心对称。
313x?12
32?x?1?g(2?x)?(2?x)?(2?x)?3(2?x)?2?13x?x?3x?2332
??83?31?x
因此，g(x)?g(2?x)?。
23?y)也一定在函
上式表明，若点A(x,y)为函数g(x)在图像上的任意一点，则点B(2?x,1数g(x)的图像上。而线段AB中点恒为点Q(1,)，由此即知函数g(x)的图像关于点Q成
3中心对称。
这也就表明，存在点Q(1,)，使得过点Q的直线若能与函数g(x)的图像围成两个封闭
31图形，则这两个封闭图形的面积总相等。 解法二：
（Ⅰ）同解法一。 （Ⅱ）（ⅰ）由g(x)?132x?x?3x?2?32mx?1
得g'(x)?x?2x?3?m(x?1)2。
?g(x)是[2,??)上的增函数， ?g'(x)?0在[2,??)上恒成立，
即x2?2x?3?m(x?1)2?0在[2,??)上恒成立。
设(x?1)2?t。
?x?[2,??),?t?[1,??)，
即不等式t?2?mt?0在[1,??)上恒成立。
所以m?t2?2t在[1,??)上恒成立。
令y?t2?2t，t?[1,??)，可得ymin?3，故m?3，即m的最大值为3.
（ⅱ）由（ⅰ）得g(x)?13x?x?3x?2?323x?1，
13将函数g(x)的图像向左平移1个长度单位，再向下平移数解析式为?(x)?13x?2x?3个长度单位，所得图像相应的函
3x，x?(??,0)?(0,??)。
由于?(?x)???(x)，所以?(x)为奇函数，故?(x)的图像关于坐标原点成中心对称。 由此即得，函数g(x)的图像关于点Q(1,)成中心对称。
31这也表明，存在点Q(1,)，是得过点Q的直线若能与函数g(x)的图像围成两个封闭图
31形，则这两个封闭图形的面积总相等。
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