25. 如图，四棱锥为
中点，
与
的底面
.
是菱形，与交于点，底面，点
（1）求直线（2）求平面
所成角的余弦值；
所成锐二面角的余弦值．
与平面
【答案】（1）
（2）
【解析】试题分析：（1）先根据条件建立空间直角坐标系，设立各点坐标，表示直线方向向量，根据向量数量积求向量夹角，最后根据线线角与向量夹角关系得结果（2）先根据条件建立空间直角坐标系，设立各点坐标，根据方程组解出各面法向量，根据向量数量积求法向量夹角，最后根据二面角与向量夹角关系得结果 试题解析：解：（1）因为直线则所以
，
则故直线（2）设平面则得平面又平面
与
所成角的余弦值为，的一个法向量为，得
的一个法向量为的一个法向量为
. ． ， ，令
． ，所以
16
是菱形，所以．又底面，以为原点，
分别为轴，轴，轴，建立如图所示空间直角坐标系． ,
,，．
．
,
,，
． ，
，得，．
，，．
则故平面26. 已知（1）求
与平面
，
的值；
.
所成锐二面角的余弦值为
.
．
（2）试猜想的表达式（用一个组合数表示），并证明你的猜想．
=
，根据组合数依次求出
的表达式
①，
．
，得
． ，得
（或
=
．
的值；（2）根据
【答案】（1）1，3，10（2）【解析】试题分析：（1）代入数值猜想
=
，利用倒序相加法可求出
试题解析：解：（1）由条件，在①中令在①中令在①中令（2）猜想
，得，得，得=
）．
成立．
欲证猜想成立，只要证等式方法一：当当故故只需证明即证而②． 由等式而右边
，
17
时，等式显然成立，
，
．
．
．
，故即证
时，因为
可得，左边的系数为．
所以的系数为由综上，
恒成立可得②成立.
．
成立.
个小球，其中n个是编号为1，2，?，n方法二：构造一个组合模型，一个袋中装有
的白球，其余n－1个是编号为1，2，?，n－1的黑球，现从袋中任意摸出n个小球，一方面，由分步计数原理其中含有个黑球（
个白球）的n个小球的组合的个数为
，
，由分类计数原理有从袋中任意摸出n个小球的组合的总数为
．
另一方面，从袋中故
方法三：由二项式定理，得两边求导，得③×④， 得
左边的系数为右边的系数为
．
由⑤恒成立，可得故
成立.
．
．
⑤．
个小球中任意摸出n个小球的组合的个数为
．
，即②成立. 余下同方法一.
③． ④．
18
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