所以欲存在则令所以当
，则时，
，所以数列，使得，所以
是首项为1，公比，即对任意
的等比数列，所以对任意
都成立，
.
都成立. ，
；当时，；当时，．
所以的最大值为（3）因为数列
，所以的最小值为
不是常数列，所以
．
.
①若，则恒成立，从而，，所以，
所以所以②若
，又，所以，可得是常数列．矛盾．
不合题意. ，取
（*），满足
恒成立．
由
则条件式变为由由由
，得． ．
，知，知，知
； ； ．
所以，数列（*）适合题意． 所以的最小值为. 20. 设函数（1）当（2）当
，
时，若函数
与
（的图象在
和任意
）.
处有相同的切线，求
的值；
，使得
时，若对任意，求的最小值；
，总存在不相等的正实数
（3）当时，设函数
.
与的图象交于 两点．求证：
11
【答案】（1）（2）（3）见解析
【解析】试题分析：（1）由导数几何意义可得，又，解方程组可得
的值；（2）先转化条件为对应方程有两个不等实根，再根据实根分布充要条件列不等式组，解得的最小值；(3)先根据零点表示b，代入要证不等式化简得
.再构造函
数，以及
，得
，结合导数研究其单调性，即证得结论
，又，所以
处有相同的切线，
，所以
，.
试题解析：解：（1）由当
时，
与
，所以的图象在
.
因为函数
所以，即，解得.
（2）当时，则，又，设在在
，
上有相异两实根上有相异两实根
． ．
则题意可转化为方程即关于的方程
所以，得，
所以因为
对，所以
恒成立．
（当且仅当
时取等号），
又，所以的取值范围是，所以．
故的最小值为. （3）当
时，因为函数
与
的图象交于
两点，
12
所以，两式相减，得.
要证明，即证，
即证，即证.
令，则，此时即证．
令又再令又
，所以
，所以
，即
，所以
，所以
满足
，即
，所以当
成立； ，所以当
时，函数单调递增．
时，函数单调递减，
也成立． .
.根据差函数
综上所述， 实数
点睛：利用导数证明不等式常见类型及解题策略(1) 构造差函数
导函数符号，确定差函数单调性，利用单调性得不等量关系，进而证明不等式.（2）根据条件，寻找目标函数.一般思路为利用条件将求和问题转化为对应项之间大小关系，或利用放缩、等量代换将多元函数转化为一元函数.
南京市、盐城市2018届高三年级第一次模拟考试
数学附加题部分
21. （选修4-1：几何证明选讲） 如图，已知点到直径
为⊙的直径，直线的距离
．
与⊙相切于点，
垂直
于点. 若
，求切
【答案】4
13
【解析】试题分析： 根据条件证明三角形全等：离
，
，
，即得切点到直径的距
试题解析：解：如图，连接
因为直线又因为在⊙中由①②得又所以即到直径
与⊙相切于点，所以垂直
于，所以，所以 ，，所以的距离为4.
，即，
，又 ，所以
，
，①
，②
，
，所以，
22. （选修4-2：矩阵与变换） 已知矩阵【答案】
，求圆
在矩阵的变换下所得的曲线方程.
【解析】试题分析： 根据矩阵运算得对于点之间关系，再代入已知动点轨迹，化简可得在矩阵的变换下所得的曲线方程 试题解析：解：设设点
是圆
上任意一点，则
，则
， ，
在矩阵对应的变换下所得的点为
即，解得，
代入，得，即为所求的曲线方程.
23. （选修4-4：坐标系与参数方程） 在极坐标系中，直线【答案】
将直线与曲线极坐标方程化为直角坐标方程,
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与曲线()相切，求的值.
【解析】试题分析： 先根据
再根据直线与圆相切得，解得的值.
为轴建立平面直角坐标系， ，
．
，
．
（
）相切，所以
，即
. 及
直接代入并化简
的形式，进
试题解析：解：以极点O为原点，极轴由
，得
得直线的直角坐标方程为曲线
，即圆
所以圆心到直线的距离为因为直线
与曲线
点睛：(1)直角坐标方程化为极坐标方程，只要运用公式
即可； (2)极坐标方程化为直角坐标方程时常通过变形，构造形如
行整体代换.其中方程的两边同乘以(或同除以)及方程两边平方是常用的变形方法.但对方程进行变形时，方程必须同解，因此应注意对变形过程的检验. 24. (选修4-5：不等式选讲） 已知实数【答案】
满足
，化简
，求当
取最大值时的值.
【解析】试题分析： 根据柯西不等式，得可得
取最大值时的值
，
试题解析：解：由柯西不等式，得即而
，所以
．
，所以
，
由，得，所以当且仅当时，．
所以当取最大值时的值为.
为实数，则
当且仅当
或存在一个数，使
点睛:柯西不等式的一般形式：设
时，等号成立.
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