《高等数学(工专)》导学讲义(4)

第五章 一元函数积分学

1. 原函数与不定积分的概念与性质

（2009.1单项选择题；2010.10单项选择题；2010.10填空题；2008.7单项选择题；

2008.7填空题）

2.不定积分的直接计算法

（2010.7计算题；2011.1填空题；2009.1填空题）

3. 不定积分的第一换元积分法（凑微分法）

（2009.1计算题；2010.4计算题；2010.7单项选择题；2011.4计算题；） 4. 不定积分的第二换元积分法（去根号法）

（2008.7计算题）

5. 不定积分的分部积分法

（2010.10计算题；2011.1计算题；2011.4综合题）

6. 可分离变量的微分方程的通解求法

（2011.4填空题；2011.4计算题；2011.1计算题；2010.10计算题；2010.7计算题；

2010.4计算题；2009.1计算题；2008.7计算题）

7. 一阶线性微分方程的通解求法（通解公式）

（暂无，也需要记忆）

8. 积分上限函数的导数

（2009.1填空题；2010.4填空题；2011.1单项选择题；2011.4单项选择题） 9.连续函数在闭区间上平均值的计算

（2010.7填空题；）

10.定积分的直接计算法

（2010.10填空题；2010.10计算题；2011.1计算题；）

11. 定积分的第一换元积分法

（2009.1计算题；2008.7计算题）

12. 定积分的第二换元积分法

（2010.4计算题；）

13. 定积分的分部积分法

（2010.7计算题；2011.4计算题；）

14.定积分计算中的一个重要结论（奇函数在关于原点对称区间上积分值为零）

（2010.4填空题；2011.1填空题；2011.4单项选择题；2008.7填空题） 15. 无穷限反常积分收敛性的判断与计算

（2010.4单项选择题；2010.7填空题；2010.10填空题；2011.1填空题；2011.4单项

选择题）

16.定积分的应用（平面图形的面积和旋转体体积）

（2009.1综合题；2010.4综合题；2010.7综合题；2010.10综合题；2011.1综合题；

2008.7综合题）

本章重点题方法引导

1. 原函数与不定积分的概念与性质

（1）设f(x)是定义在区间I上的一个函数，若F(x)是区间I上的可导函数，并且对

任意的x?I均有

F?(x)?f(x)或dF(x)?f(x)dx

则称F(x)是在区间I上的一个原函数。连续函数必有原函数。 把f(x)的原函数的全体称为f(x)的不定积分，记为

?f(x)dx，若f(x)的一个原函

数为F(x)，则有

?f(x)dx?F(x)?c

（2）不定积分的基本性质

(1)(f(x)dx)??f(x) (2)d(f(x)dx)?f(x)dx (3)

???f?(x)dx??df(x)?f(x)?c

(4)两个函数和（或差）的不定积分等于函数的不定积分的和（或差）。 (5)求不定积分时，被积分函数中非零的常数因子可以提到积分等外面来，即

?kf(x)dx?k?f(x)dx（k?0为常数）

到此处要重录（14：12）

2.不定积分的第一换元积分法（凑微分法）

例2：求不定积分cos2xdx 解：cos2xdx凑微分

换元u?2x??1cos2xd(2x) ?21cosudu ?21sinu?c 2

套用基本公式 回代1sin2x?c 2

我们把按照上例步骤求不定积分的方法称为第一换元积分法，由于这个方法的关键一步为“凑微分”故也称作凑微分法。

当熟悉以上解题程序后，我们可以将中间变量记在头脑里，换元、套用公式、回代一气呵成！

如例2可以这样计算：

?cos2xdx?11cos2xd(2x)?sin2x?c 2?2要想分解第一换元积分法，除了记住基本的积分公式外，还应熟悉以下凑微分公式： (1)dx?1d(ax?b) (a?0)； a(2)dy?d(y?c) (3)xdx?(4)

12dx 21dx?dlnx x(5)

1xdx?2dx

(6)

11dx?-d

xx2xx(7)e2x?de (8)cosxdx?dsinx (9)sinxdx??dcosx (10)secxdx?dtanx (11)cscxdx??dcotx (12)

2211?x2dx?darcsinx??darccosx

(13)

1dx?darctanx??darccotx 21?x由于时间关系，这个专题只能讲到这里，这些内容和剩下的内容以后会安排精讲。 3. 可分离变量的微分方程的通解求法 4.积分上限函数的导数

5.定积分的应用（平面图形的面积和旋转体体积）

第六章 线性代数初步

1. 二三阶行列式的计算

（2011.4填空题；2011.1填空题；2010.10填空题；2010.7填空题；2009.1填空题；

2008.7单项选择题）

2. 二三阶行列式的性质

（2008.7填空题）

3. 矩阵的乘法运算（包括性质）

（2011.4填空题；2011.1填空题；2010.7单项选择题；2010.7填空题；2010.4填空

题；）

4.方程组中方程个数等于未知数个数时，三元齐次方程组有非零解的充要条件

（2011.4计算题；2010.7计算题）

5.三元线性非齐次方程组有解的条件

（2010.4计算题；2008.7计算题）

6. 三元线性方程组的消元法

（2011.1计算题；2010.10计算题；2009.1计算题）

7. 方阵行列式的性质（包括方阵乘积的行列式等于行列式的乘积）

（2010.10填空题；2010.4单项选择题；2009.1单项选择题）

8.伴随矩阵的行列式

（2011.4单项选择题；）

9. 逆矩阵的性质与计算

（2011.1单项选择题；2010.10单项选择题；2010.4填空题；2009.1填空题；2008.7

填空题）

本章重点题方法引导

1. 二三阶行列式的计算 2.矩阵的乘法运算（包括性质）

3.方阵行列式的性质（包括方阵乘积的行列式等于行列式的乘积） 4.逆矩阵的性质与计算

说明：以上是对每章重点、考点的罗列，考生要详细了解每个知识点的考查题型、难度系数、具体考查内容、考查次数，正所谓知己知彼方能百战百胜。

高等数学（工专）综合知识点矩阵分析图.xls

四、真题解析（真题精讲班）

1. 历年真题分值分布分析

每章内容在历届考试中出现分值分析如下：（以09年1月至11年1月最新五套试题为参照）：

单选题 填空题 计算题 综合题 总计 平均每次考试分数

第一章 第二章 第三章 第四章 第五章 第六章

12分 18分 0分 0分 10分 10分 0分 33分 30分 21分 36分 30分 0分 12分 60分 42分 90分 30分 0分 0分 0分 30分 30分 0分 12分 63分 96分 93分 166分 70分 2.4 12.6 19.2 18.6 33.2 14 2. 历年真题命题趋势

高等数学（工专）核心章节：第三章、第四章、第五章。内容包括：各类函数导数的计算、函数微分的计算、函数单调区间与极值点求法、函数凹凸区间与拐点的求法、拐点的必要条件、闭区间上函数最值的求法、罗必达法则的应用、可分离变量的微分方程通解的求法、不定积分与定积分的计算、定积分的应用等。

在以上这诸多内容中，导数应用和定积分的应用为本课程的重点，亦为难点，也是命题的热点，考生应注意掌握。

五、应试技巧

1.答题的顺序要先易后难?

在拿到试卷的时候，可以先把考卷大致地看一遍，然后再答题；也可以直接按先后顺序答题。但不论怎样，面对试卷都要冷静，不要紧张，对于容易的、会答的题，先把他们答出来；而对于那些比较困难的、一时还把握不准的问题，可以先放下来。等到把容易的题全部答出来之后，再去思考那些较难的题。一定要避免出现一味地去思考、琢磨那些难题，把时间都浪费到这些题上，等到考试时间结束的时候，真正会答的题反而没有时间答了。另外，对于不会答的题，会多少答多少，写好过程。

2.做选择题时，注意运用排除法和验证法。就是从选项出发逐一验证排除。 3.做计算题和综合题要有过程，不要只写答案，另外字迹要工整?

考生在做计算题和综合题时，只写答案，没有任何的解题的过程，原则上是不给分的。对于有些同学，写了过程，但是让人看起来头疼，怎么看都看不清楚，这样就可能得不到满分，甚至一分也没有。?

4.答题要准确，过程要清晰

在答题时，一定要特别注意条理清楚，解题过程清晰明了。严格按照教材上给定的解题程序来答题，这样即使结果出现问题，按照过程，也能得到大部分的分数！

最后，祝愿考生们都能考出好的成绩！

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