《高等数学(工专)》导学讲义(3)

（1）函数f(x)在点x0处连续需满足

x?x0?limf(x)?lim?f(x)?f(x0)

x?x0具体的说需要满足以下三个条件： ①f(x)在x0处有定义；

②lim?f(x)、lim?f(x)存在且相等；

x?x0x?x0③limf(x)?f(x0)

x?x0（2）基本初等函数在其定义域内是连续函数。

第三章 导数与微分

1. 导数的定义式

（2010.7填空题；2011.4计算题）

2.判断分段函数在分段点处的可导性

（2010.7计算题；）

3.导数的几何意义

（2011.1计算题）

4. 导数的四则运算与混合运算

（2010.4计算题；2010.10填空题；2010.10计算题；2009.1填空题；2009.1计算题） 5. 复合函数的导数求法

（2010.4填空题；）

6. 隐函数求导方法

（2010.4计算题；2010.10计算题；2009.1填空题）

7. 参数式函数的求导方法

（2010.4填空题；2010.7计算题；2010.10填空题，2011.1计算题；2011.4计算题；

2009.1计算题）

8. 高阶导数的计算

（2010.7计算题；2011.4填空题）

9. 微分的计算

（2010.4填空题；2010.7填空题；2009.1填空题）

本章重点题方法引导

1.导数的四则运算与混合运算：要求记住四则运算法则和复合函数的求导法则

若函数u?u(x)，v?v(x)在点x处均可导，则 ①(u?v)??u??v? ②(u?v)??u?v?uv? ③()??uvu?v?uv? v2由②还可得到

(ku)??ku?（k为常数）

(u?v?w)??u?vw?uv?w?uvw?（w?w(x)在x处也可导）

由③可得

11()???2?v? vv复合函数的求导法则：若u??(x)在点x处可导，而y?f(u)在相应的点u??(x)处可导，则复合函数u?f(?(x))在点x处可导，且有

dydydu?? dxdudx

2.隐函数求导方法

设y?y(x)是由方程F(x,y)?0所确定的隐函数，对方程两边的x求导，遇到y时将其看成x的函数，遇到y的函数时，将其视为x的复合函数，利用复合函数的求导法则就会得到一个含有

3.参数式函数的求导方法

设可导函数y?f(x)是由参数方程?

4.微分的计算

求函数f(x)的微分时，可先求出导数，然后乘以dx就是f(x)的微分

dydy（或y?）的方程，从方程中解出即可。 dxdxf?(t)?x?f1(t)dy?2。（t为参数）所确定的，则

?dxf(t)?y?f2(t)1第四章 微分中值定理与导数的应用

1. 罗必达法则

（2010.10计算题；2011.1计算题；2011.4计算题）

2. 求函数的单调区间

（2009.1计算题；2011.1填空题；2011.4填空题）

3. 利用单调性证明不等式

（2010.7综合题；2011.1综合题）

4. 函数极值点与极值的求法

（2010.4综合题；2010.10填空题；2011.4计算题；）

5. 极值的必要条件

（2011.1填空题）

6. 函数在闭区间上最值得求法

（2010.10综合题；）

7. 实际问题中最值的求法

（2011.4综合题）

8. 函数的凹凸区间与拐点的求法

（2010.4填空题；2010.4计算题；2010.7填空题；2010.10计算题；2011.1计算题） 9. 拐点的必要条件

（2009.1综合题；）

10. 函数渐近线的求法

（2009.1填空题；2010.7计算题；2011.1填空题；）

本章重点题方法引导

1.罗必达法则 如果f(x)和g(x)满足

(1)limx?()??f(x)为“”或“”型极限；

??g(x)(2)f(x)、g(x)在与“x?()”相对应的区域内可导，且g?(x)?0；

(3)limx?()f?(x)存在（或为?） ?g(x)则limx?()f(x)f?(x)?lim g(x)x?()g?(x)??注：①上面的( )中可填x0,x0,x0,??,??,?等，上面第(2)条的意思如下：当x?()为x?x0时，要求f(x)、g(x)在x0的去心邻域内可导；当x?()为x?x0时，要求

?

f(x)、g(x)在x0的右邻域内可导；当x?()为x?x0时，要求f(x)、g(x)在x0的

左邻域内可导；当x?()为x???时，要求f(x)、g(x)在正无穷远处可导；当x?()为x???时，要求f(x)、g(x)在负无穷远处可导；当x?()为x??时，要求f(x)、

?g(x)在正、负无穷远处可导。

②一般地，在利用它求极限时，洛必达法则中的第(2)条总是满足的，重点判断第(1)条和第(3)条是否成立。

③若极限式的分子分母中，含有“sin?”或“cos?”的部分，一般来讲，不能用洛 必达法则来求解。但可试着根据“有界变量乘无穷小量仍然是无穷小量”这一结论来计算。

如limx?cosx含有“sin?”和“cos?”，不能用洛必达法则来求解：

x??2x?sinx这是

具体原因如下：

?型未定式，如果对分子、分母求导得 ?1?sinxlim x??2?cosx这个极限不存在，但也不是?。所以不能用洛必达法则求解。但我们不能由此判定

11??cosxx?cosxx?cosx1xlim不存在。事实上，lim?lim?， x??2x?sinxx??2x?sinxx??122?sinxx这里利用了无穷小的性质：有界变量乘无穷小量仍然是无穷小量，即用到了

11limcosx?limsinx?0 x??xx??x④“等价无穷小替换”是洛必达法则的“一双隐形的翅膀”，有了它的合作，用洛必达法则求极限将会更快捷。

⑤每用一次“法则”，要及时化简整理。

2.求函数的单调区间与极值 （1）第一步：写出函数的定义域

第二步：求函数的导数，找出导数为零的点（驻点）及不可导点

第三步：以上述点为分界点划分定义域，看各小区间内导数的符号。为正，对应区间为

函数单调递增区间；为负，对应区间为函数的单调递减区间。

（2）利用极值的第一充分条件求函数的极值。 可以按以下步骤求函数f(x)的极值点和极值。 ①写出函数f(x)的定义域；

②求f?(x)，并找出所有的驻点和不可导点；

③以上述点为分界点划分定义域列表，看各小区间内f?(x)的符号，若表中的分界点左边f?(x)为负而右边f?(x)为正，则该点为f(x)的极小值点，对应的函数值为极小值，若表中的分界点右边f?(x)为正而左边f?(x)为负，则该点为f(x)的极大值点，对应的函数值为极大值。

3.函数的凹凸区间与拐点的求法

①写出函数的定义域

②求出f??(x)，找出二阶导数为0的点与二阶导数不存在的点。

③以上述点划分定义域列表，看各小区内f??(x)的符号：若f??(x)?0，则对应区间为凹区间；若f??(x)?0，则对应区间为凸区间。若在某点的左右两侧f??(x)的符号是异号的，则该点为拐点。

4.函数渐近线的求法 (1)水平渐进线

若limf(x)?c，则直线y?c为曲线y?f(x)的一条水平渐近线。

x???或x???或x??x如，lime?0，所以y?0为曲线y?e的水平渐近线。

x???x此处要重录09：36到

(2)垂直渐近线（铅直渐进线）

f(x)??或limf(x)??或limf(x)??，则x?x0为曲线y?f(x)的一若lim??x?x0x?x0x?x0条垂直渐进线。

11x?1??y?，故为曲线的一条垂直渐近线，又因为2x?1x2?1x?111lim2??，从而x??1也是曲线y?2的一条垂直渐近线。也就是说曲线x??1x?1x?11y?2有两条垂直渐近线，找垂直渐近线的方法是：先找到f(x)的间断点x0，后验证

x?1如，lim在该点处的极限是否为无穷大，若是，则x?x0就是曲线y?f(x)的垂直渐近线。

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