《高等数学(工专)》导学讲义

《高等数学（工专）》导学讲义

一、课程概要

1. 课程性质及设置目的

“高等数学（工专）”是工科各专业高等专科自学考试计划中的一门非常重要的基础理论课程，是为培养各种高等专科工程技术人才而设置的。在当今科学技术飞速发展、特别是计算机科学及其应用日新月异的时代，数学已日益渗透到各个科技领域，学习任何一门科学或工程技术专业都会要用到许多数学知识，而其中最基本的则是高等数学中的微积分学与线性代数。学习本课程不仅为自学考试计划中多门后继课程提供必要的数学基础，而且也是提高学生科学素养的一个重要途径。

2. 基本要点与重点 （1）基本要求

获得一元函数微积分学的系统的基本知识、基本理论和基本方法；获得线性代数的初步知识。

（2）课程重点

一元函数的导数和积分的概念、计算及其应用。 3. 学习要求与培养目的

在学习过程中，首先要切实理解基本概念和基本理论，了解其背景和意义。在此基础上掌握基本的计算方法和技巧，注重培养熟练的运算能力和处理一些简单实际问题的能力；同时，使抽象思维和逻辑推理的能力得到一定的提高。

二、试卷分析

1. 试卷结构及分值分布 题号 第一题 第二题 第三题 第四题 题型 单项选择题 填空题 计算题 综合题 题量及分值 （共5小题，每小题2分，共10分） （共10小题，每小题3分，共30分） （共8小题，每小题6分，共48分） （共2小题，每小题6分，共12分） 2. 难度分析及命题思路

试卷的难度可大致分为：易，中等偏易，中等偏难，难。它们所占的分数依次约为：20分，45分，30分，10分。现具体分析如下：

（1）单项选择题

本题型共5小题，每小题2分，考查的分数占到总分数的10%，考查知识点比较分散且细致，考查的都是基础知识和基本技能，难度为“易”或“中等偏易”。考生在平时复习的过程中，要注意基本概念和基本公式的记忆。下面看两道例题。

★真题链接：

【例题1】.函数y=A.有界函数 C.常量 【答案】A

13x在（0，+?）内是（ ）

B.无界函数 D.无穷大量

13x【解析】本题考查了有界函数、常量、无穷大量等概念。首先排除C,D。因为函数y=在

（0，+?）内随x的变化而变化，并非常量。而无穷大量必须伴随着自变量的某种趋向。函数在相应区间是有界的还是无界的，就要看y的取值，由于在（0，+?），y=0?所以是有界的。选A。

【提醒】要记得基本初等函数的函数图像，看在某区间内有界还是无界，还可以看在该区间内函数图像能否被两条水平的直线夹住，若可以则有界，否则无界。所有的反三角函数，sin( )，cos( )等都是有界函数。

【点评】本题涉及内容是考试的热点，热度：☆☆☆☆；大部分出现在选择题中。 【历年考题链接】

1?1，3x（2009,10）1.下列函数中在所给的区间上是有界函数的为（ ） A. f（x）=e-x （-?,+?） C. f（x）=sin答案：C。

记住了结论就直接选出正确答案。

B. f（x）=cot x （0,π） D. f（x）=

1 （0,+?） x1 （0,+?） x?2?【例题2】级数???n?0?5?3 22C．

5A．【答案】D

?n?1的和S=（ ）

5 32D．

3B．

【解析】本题考查了等比级数的求和公式：

n?1首项（条件：公比的绝对值小于1，否则级

1-公比22，公比为，所有和为： 55?2?数是发散的）。将n?0代入???5?得到首项为

S?251?25?2。 3【点评】等比级数的求和公式也是经常考查的知识点。另外，当公比绝对值大于等于1时它是发散的，级数

1在p?1时收敛，p?1时发散，这些都需要牢记。 ?pnn?1?【例题3】矩阵A??A．ad?bc?0 C．ab?cd?0 【答案】A

?ab?为非奇异矩阵的充要条件是（ ） ??cd?B．ad?bc?0 D．ab?cd?0

【解析】本题考查了非奇异矩阵的概念以及矩阵为非奇异矩阵的充要条件。若方阵A满足A?0,则称它是奇异矩阵，否则为非奇异矩阵。矩阵为非奇异矩阵的充要条件是它的行列式不为零。本题中A?ad?bc，A为非奇异矩阵的充要条件是A?0，即ad?bc?0。

【点评】本题考查了基本的概念和结论，需要熟记于心。

★【题型分析】从以上两个例题可以看出，单项选择题主要考查大家对课本上的基本概念、公式、定理、结论的掌握程度，考生必须要记住基本的公式和结论，这样才能做好选择题。

（2）填空题

本题型共10小题，每小题3分，主要考查基本的计算技能，属于中等偏易的题。如：复合函数的求法、极限的计算、渐近线的求法、导数的计算、微分的运算、积分的计算、行列式值的计算、矩阵的乘法运算等等。

★例题链接： 【例题1】.lim【答案】D。

【解析】本题考查了函数极限的求法。根据罗比达法则，lim还可以用第一个重要极限limsinx?_______________.

x????xsinxcosx?lim?1。当然

x????xx???1sinxsin(??x)sin()?lim?1。 ?1来求解：limx????xx??()?0()??x0”型极限的常用方法，但要注意它的适用条件（3条）。 0【提醒】罗比达法则是求解“

【点评】应用两个重要极限或罗比达法则来求函数极限是每年必考的，常出现在选择、填空题或计算题中，热度：☆☆☆☆☆。

?x?ln(1?t2)dy? 。 【例题2】设?，则dx?y?t?arctant【答案】

t 2【解析】考查了三种求导法则中的由参数方程所确定的函数的求导法则。用公式来求解：

12dy(t?arctant)?t1?t? ； ??2tdx2[ln(1?t2)]?1?t21?或者记住导数就是“微商”，利用微分来做：

1??1?dt?2?tdyd(t?arctant)?1?t???? 。

2tdx2d(ln(1?t2))dt21?t【点评】三种求导法则必须牢记。 【例题3】曲线y?2ln【答案】y??3。

【解析】本题考查了函数水平渐近线的求法。由于

x?3?3的水平渐近线为 。 xlimy?lim(2lnx??x??x?3x?3?3)?2limln?3?2ln1?3??3，

x??xx所以函数有水平渐近线y??3。

此处要重录

【点评】函数的渐近线也是历年常考的知识点，要理解记忆水平渐近线和垂直渐进线的求法。

【例题4】.设y=e2-3x，则dy=_______________. 此处要重录 【答案】-3e2-3xdx。

【解析】本题考查了函数微分的计算。因为y???3e2?3x，所以dy??3e2?3xdx。

【提醒】还可以根据一阶微分的形式不变形来求解。

dy?de2?3x?e2?3xd(2?3x)??3e2?3xdx。

【点评】微分的计算几乎是是每年必考的，常出现在选择、填空或计算题中，热度：☆☆☆

☆☆。

【例题5】.无穷限反常积分

???0e?xdx=_______________.

【答案】1。

【解析】本题考查了简单的广义积分的计算。

???0??e?xdx??e?x|0??(lime?x?e0)?1.

x???【点评】广义积分的概念与简单计算经常考，要重点掌握。考试热度：☆☆☆☆☆。

★【题型分析】本类题注重基本的计算技能的考查，涵盖知识面较广，希望各位同学记住大纲的要求，加强练习，掌握这些基础知识。

（3）计算题

本题型共8小题，每小题6分。考查对象主要有导数及其应用、不定积分、一阶微分方程、定积分及其应用、极限、行列式、矩阵运算和解线性方程组的消元法等等。 【例题1】.求微分方程1?x2y??1?y2的通解.

【解析】本题考查了可分离变量的微分方程的求法。原方程可化为dy1?y2?dx1?x2，两边积分得，arcsinx?arcsiny?C，即为原方程的隐式通解。 【提醒】分离变量的步骤是先将y?写成

dy，然后通过两边同乘或同除一个式子使得变量dxx,y分离到等号两边。

【点评】微分方程是每年必考的内容，要熟练掌握可分离变量的方程与一阶线性方程的求法。常出现在填空或计算题中，热度：☆☆☆☆☆。

【例题2】计算定积分

?1?011xdx。

【解析】本题考查了定积分的第二换元积分法。由于被积函数含有根号，为了去掉根号，

22令x?t，x?t，dx?dt?2tdt；x?0时t?0，x?1时t?1，故

?1?011xdx??11?t?11112tdt?2?dt?2?(1?)dt?2(t?ln1?t)|10 01?t01?t01?t1?2?2ln2。

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